文章目录
- abstract
- 旋转对称图形
- 旋转变换分解
- 例
- 坐标旋转变换
abstract
- 旋转对称相关内容
旋转对称图形
- 一般地,如果一个平面图形绕定点旋转 θ \theta θ角后与旋转前图形自身重合,则这个图形称为" θ \theta θ角旋转对称图形"
- 例如
- 任意正三角形是 1 3 × 2 π \frac{1}{3}\times{2\pi} 31×2π角的旋转对称图形
- 任意一个正方形都是 π 2 \frac{\pi}{2} 2π角的旋转对称图形;
- …
- 一般地,任意正 n n n边形是 1 n × 2 π \frac{1}{n}\times 2\pi n1×2π角的旋转对称图形
- 可以从正 n n n边形的中心向各个顶点连线,可以观察到 n n n条线将 2 π 2\pi 2π角均分为 n n n份,因此旋转 k × 2 π 2 k\times{\frac{2\pi}{2}} k×22π, ( k ∈ Z ) (k\in\mathbb{Z}) (k∈Z)后图形上的顶点和旋转前的重合,整个正 n n n边形图形也就重合
旋转变换分解
- 设直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2相较于 O O O,夹角 < l 1 , l 2 > = θ <l_1,l_2>=\theta <l1,l2>=θ则关于 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2连续作轴对称变换,等效于绕点 O O O作 2 θ 2\theta 2θ角的一个旋转变换
- 即,任意旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的乘积
- 证明:
- 从几何上容易证明,设 P P P关于 l 1 l_1 l1的对称点为 Q Q Q, Q Q Q关于 l 2 l_2 l2的对称点为 R R R;记 < l 1 , l 2 > = θ <l_1,l_2>=\theta <l1,l2>=θ
- 情况1: Q Q Q落在 θ \theta θ内部,令 ∠ l 1 O Q = x \angle{l_1OQ}=x ∠l1OQ=x, ∠ Q O l 2 = y \angle{QOl_2}=y ∠QOl2=y,则 θ = x + y \theta=x+y θ=x+y
- 而 ∠ P O R \angle{POR} ∠POR= 2 x + 2 y 2x+2y 2x+2y= 2 ( x + y ) 2(x+y) 2(x+y)= 2 θ 2\theta 2θ
- 情况2: Q Q Q落在 θ \theta θ外,也可得到相同结论
例
- 例如: α , π 2 + α \alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha α,2π+α的旋转变换分解为二次对称变换
- 角 α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2} α+2π可通过 α \alpha α关于 y = x y=x y=x对称,再关于 y y y轴对称得到
- α \alpha α角终边上的点 P ( cos α , sin α ) P(\cos{\alpha},\sin\alpha) P(cosα,sinα)关于 y = x y=x y=x对称得到点 Q ( sin α , cos α ) Q(\sin\alpha,\cos\alpha) Q(sinα,cosα), Q Q Q关于 y y y轴对称得到 R ( − sin α , cos α ) R(-\sin\alpha,\cos\alpha) R(−sinα,cosα), R R R在 α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2} α+2π的终边上,从而 R ( cos ( α + π 2 ) , sin ( α + π 2 ) ) R(\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})) R(cos(α+2π),sin(α+2π))
- 所以:
- cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) cos(α+2π)= − sin α -\sin\alpha −sinα
- sin ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) sin(α+2π)= cos α \cos{\alpha} cosα;
坐标旋转变换
-
一般地,平面上任意点 P ( a , b ) P(a,b) P(a,b)绕原点 O O O旋转 π 2 \frac{\pi}{2} 2π后到达点 R R R,设点 R R R地坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y),则由上述关系: x = − b x=-b x=−b; y = a y=a y=a
-
如果点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)与原点的距离保持不变绕原点旋转 θ \theta θ角到 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x',y') P′(x′,y′),则 x = r cos α x=r\cos\alpha x=rcosα; y = r sin α y=r\sin\alpha y=rsinα
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x ′ x' x′= r cos ( α + θ ) r\cos(\alpha+\theta) rcos(α+θ)= x cos θ − y sin θ x\cos\theta-y\sin\theta xcosθ−ysinθ
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y ′ y' y′= r sin ( α + θ ) r\sin(\alpha+\theta) rsin(α+θ)= x sin θ + y cos θ x\sin\theta+y\cos\theta xsinθ+ycosθ
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