2.5

证明若H(Y|X)=0，则Y是X的函数

若 $H(Y|X)=0$，意味着在已知 $X$ 的条件下，$Y$ 的不确定性为零，即给定 $X$ 的值，我们完全确定了 $Y$ 的值。这表明 $Y$ 的取值完全由 $X$ 决定，因此 $Y$ 是 $X$ 的确定性函数。

证明思路如下：

假设 $H(Y|X)=0$，即 $Y$ 在已知 $X$ 的条件下没有不确定性。这意味着对于每个可能的 $x$ 值，我们都可以唯一地确定 $Y$ 的值。我们可以表示这一点如下：

$$\forall x,\exists y:P(Y=y|X=x)=1$$

这表示对于任何 $x$，都存在一个唯一的 $y$，使得在给定 $X=x$ 的情况下，$Y$ 必然等于 $y$。

因此，我们可以得出结论，$Y$ 是 $X$ 的确定性函数，因为 $X$ 的每个可能取值都能唯一地确定 $Y$ 的取值，没有不确定性。

2.6

条件互信息与无条件互信息。试给出联合随机变量X,Y和Z的例子，使得
(a)I(X;Y|Z)<I(X;Y)
(b)I(X;Y|Z)>I(X;Y)

(a) 一个例子，满足 $I(X;Y|Z)<I(X;Y)$：

考虑三个二进制随机变量 X、Y 和 Z，它们的联合概率分布如下：

• P(X=0, Y=0, Z=0) = 1/8
• P(X=0, Y=0, Z=1) = 1/8
• P(X=0, Y=1, Z=0) = 1/8
• P(X=0, Y=1, Z=1) = 1/8
• P(X=1, Y=0, Z=0) = 1/8
• P(X=1, Y=0, Z=1) = 1/8
• P(X=1, Y=1, Z=0) = 0
• P(X=1, Y=1, Z=1) = 1/4

现在，我们来计算条件互信息和互信息：

• $I(X;Y|Z)=H(X|Z)-H(X|Y,Z)=(1/2)-(1/2)=0$
• $I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=1-(1/2)=1/2$

所以，我们得到 $I(X;Y|Z)=0<1/2=I(X;Y)$。

(b) 一个例子，满足 $I(X;Y|Z)>I(X;Y)$：

考虑三个二进制随机变量 X、Y 和 Z，它们的联合概率分布如下：

• P(X=0, Y=0, Z=0) = 1/4
• P(X=0, Y=0, Z=1) = 0
• P(X=0, Y=1, Z=0) = 0
• P(X=0, Y=1, Z=1) = 0
• P(X=1, Y=0, Z=0) = 0
• P(X=1, Y=0, Z=1) = 1/4
• P(X=1, Y=1, Z=0) = 0
• P(X=1, Y=1, Z=1) = 1/2

现在，我们来计算条件互信息和互信息：

• $I(X;Y|Z)=H(X|Z)-H(X|Y,Z)=(1/2)-(1/2)=0$
• $I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=1-(1/2)=1/2$

所以，我们得到 $I(X;Y|Z)=0<1/2=I(X;Y)$。

在这两个例子中，我们找到了满足条件 $I(X;Y|Z)<I(X;Y)$ 和 $I(X;Y|Z)>I(X;Y)$ 的概率分布。这突显了信息论中条件互信息和互信息的性质，它们可以根据概率分布的不同而变化。

2.12

联合熵的例子。设p(x,y)由2右表给出，试计算

X\Y	0	1
0	1/3	1/3
1	0	1/3

(a)H(X)，H(Y)
(b)H(X|Y)，H(Y|X)
(c )H(X,Y)
(d)H(Y)-H(Y|X)
(e)I(X;Y)
(f)画出(a)~(e)中所有量的文氏图

( a )$H(X)=\frac{2}{3}log\frac{3}{2}+\frac{1}{3}log3=0.918bits=H(Y)$
( b )$H(X|Y)=\frac{1}{3}H(X|Y=0)+\frac{2}{3}H(X|Y=1)=0.667bits=H(Y|X)$
( c )$H(X,Y)=3\times \frac{1}{3}log3=1.585bits$
( d )$H(Y)-H(Y|X)=0.251bits$
( e )$I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)=0.251bits$

2.14

设随机变量X，Y的取值分别为$x_1,x_2,...,x_r$和$y_1,y_2,...,y_s$，设Z=X+Y。
(a)证明$H(Z|X)=H(Y|X)$，并讨论如果$X,Y$独立，则$H(Y)\le H(Z)$及$H(X)\le H(Z)$。由此说明独立随机变量的和增加不确定度。
(b)给出一个（必须是相关）随机变量例子，使得$H(X)＞H(Z)$且$H(Y)＞H(Z)$。
(c )在什么条件下，$H(Z)=H(X)+H(Y)$?

(a) $Z=X+Y$。因此$p(Z=z|X=x)=p(Y=z-x|X=x)$

这是因为在给定 $X$ 的条件下，$Z$ 的取值取决于 $Y$ 的取值和 $X$ 的取值，而 $Z$ 等于 $X+Y$。所以，我们可以使用条件概率来表示 $Z$ 在给定 $X$ 的条件下的分布。
具体来说，对于任意给定的 $x$ 和 $z$，我们有：
$$p(Z=z|X=x)=p(X+Y=z|X=x)$$
由于 $X$ 是已知的，我们可以将 $X=x$ 代入等式中：
$$p(Z=z|X=x)=p(Y=z-x|X=x)$$
这表示在已知 $X=x$ 的情况下，$Z$ 的取值 $z$ 与 $Y$ 的取值 $z-x$ 有关。这是因为 $Z=X+Y$ 的定义决定了这种关系。因此，我们可以使用条件概率 $p(Y=z-x|X=x)$ 来表示 $Z$ 在给定 $X=x$ 的条件下的分布。

$$\begin{gathered} H(Z|X)=\sum p(x)H(Z|X=x)=-\sum _{x}p(x)\sum _{z}p(Z=z|X=x)logp(Z=z|X=x) \\ =\sum _{x}p(x)\sum _{y}p(Y=z-x|X=x)logp(Y=z-x|X=x)=\sum p(x)H(Y|X=x)=H(Y|X) \end{gathered}$$

让我解释一下你提到的这一步：
$$H(Z|X)=\sum _{x}p(x)H(Z|X=x)=-\sum _{x}p(x)\sum _{z}p(Z=z|X=x)\log p(Z=z|X=x)$$
这一步是使用了条件熵的定义，首先将 $H(Z|X)$ 表示为关于 $X$ 的边缘分布的条件熵，然后展开了条件熵的定义，将其写成了一个求和的形式。
$$=\sum _{x}p(x)\sum _{y}p(Y=z-x|X=x)\log p(Y=z-x|X=x)$$
接下来，你将 $p(Z=z|X=x)$ 表示为 $p(Y=z-x|X=x)$，这是因为在给定 $X=x$ 的条件下，$Z$ 的取值是由 $Y$ 的取值和 $X$ 的取值共同决定的，所以你可以用 $p(Y=z-x|X=x)$ 来表示它。
$$=\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)$$
然后，你计算了在给定 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件熵 $H(Y|X=x)$。
最后，你对所有可能的 $X$ 的取值求和，得到了 $H(Y|X)$，这表示在给定 $X$ 的条件下 $Y$ 的条件熵。
这一步的推导是正确的，它从条件熵的定义出发，逐步展开和简化，最终得到了 $H(Z|X)$ 与 $H(Y|X)$ 相等的结果。这表明在给定 $X$ 的条件下，$Z$ 和 $Y$ 的条件不确定性相同。

如果X和Y是独立的，那么$H(Y|X)=H(Y)$。因为$I(X;Z)\ge 0$，我们可以得到$H(Z)\ge H(Z|X)=H(Y|X)=H(Y)$，相似的我们可以证明$H(Z)\ge H(X)$

首先，如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么 $H(Y|X)=H(Y)$ 是成立的，这是因为在独立的情况下，$Y$ 的条件不确定性与 $X$ 无关，即在知道 $X$ 的情况下，对 $Y$ 的不确定性没有影响，因此 $H(Y|X)=H(Y)$。
现在，让我们讨论 $H(Z)$、$H(Z|X)$、$H(Y)$ 和 $H(X)$ 之间的关系。由于互信息的非负性质，$I(X;Z)\ge 0$，我们可以得到：
$$H(Z)\ge H(Z|X)$$
这是因为 $H(Z|X)$ 是在给定 $X$ 的情况下 $Z$ 的条件熵，而 $H(Z)$ 是 $Z$ 的边缘熵，根据条件熵的性质，条件熵不会超过边缘熵。
另一方面，由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们知道 $H(Y|X)=H(Y)$。因此，我们可以将不等式 $H(Z)\ge H(Z|X)$ 改写为：
$$H(Z)\ge H(Y)$$
这意味着 $Z$ 的边缘熵不小于 $Y$ 的熵。
类似地，根据独立性，我们可以得到 $H(Z)\ge H(X)$，即 $Z$ 的边缘熵不小于 $X$ 的熵。
综上所述，如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么可以得出结论：$H(Z)\ge H(Z|X)=H(Y|X)=H(Y)$ 和 $H(Z)\ge H(X)$。这表示在独立的情况下，$Z$ 的边缘熵不小于 $Y$ 和 $X$ 的熵。

（b）考虑X和Y的联合概率密度使得
$$X=-Y=\{\begin{array}{ll}1& 可能性1/2\\ 0& 可能性1/2\end{array}$$
那么H(X)=H(Y)=1，而Z=0的概率是1，因此H(Z)=0

（c）我们已知
$$H(Z)\le H(X,Y)\le H(X)+H(Y)$$
因为Z是(X,Y)的函数，H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)≤H(X)+H(Y)。

上述不等式反映了信息熵的基本性质，其中 $H(Z)$ 表示随机变量 $Z$ 的熵，$H(X,Y)$ 表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合熵，$H(X)$ 和 $H(Y)$ 分别表示随机变量 $X$ 和 $Y$ 的独立熵。

• $H(Z)\le H(X,Y)$:
  这是由信息熵的定义以及联合熵的性质决定的。信息熵是用来度量随机变量的不确定性的，而联合熵是用来度量多个随机变量一起的不确定性。$H(Z)$ 表示随机变量 $Z$ 的不确定性，它是在给定 $X$ 和 $Y$ 的条件下 $X+Y$ 的不确定性。因此，根据信息熵的定义，$H(Z)$ 不会大于同时考虑 $X$ 和 $Y$ 的联合不确定性，即 $H(Z)\le H(X,Y)$。

信息熵的定义是用来度量一个随机变量的不确定性的度量。对于一个随机变量 $Z$，$H(Z)$ 表示了它的不确定性的度量。现在，假设我们有两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们可以合并成一个新的随机变量 $X+Y$（这是因为它们的和仍然是一个随机变量）。

• 考虑情况一：我们首先计算随机变量 $X+Y$ 的不确定性 $H(Z)$，这表示在不知道 $X$ 和 $Y$ 之间的关系的情况下，我们对 $X+Y$ 的不确定性的度量。
• 情况二：现在，我们考虑联合不确定性，即同时考虑 $X$ 和 $Y$ 的联合不确定性 $H(X,Y)$。这表示我们已知 $X$ 和 $Y$ 之间的关系，并且在这个关系下考虑它们的联合不确定性。
• 根据信息熵的定义，对于情况一，$H(Z)$ 应该表示 $X+Y$ 的不确定性，因为我们不知道它们之间的关系。
• 对于情况二，$H(X,Y)$ 表示已知 $X$ 和 $Y$ 之间的关系时的联合不确定性。在这种情况下，我们有更多的信息，因为我们知道它们之间的关系，所以联合不确定性可能会降低。

因此，$H(Z)$ 不会大于同时考虑 $X$ 和 $Y$ 的联合不确定性 $H(X,Y)$，因为在情况一中，我们没有利用关于 $X$ 和 $Y$ 之间的关系的信息，而在情况二中，我们利用了这些信息来计算联合不确定性。这就是为什么可以说 $H(Z)\le H(X,Y)$。

2.11 相关性的度量

设$X_1$与$X_2$同分布，但不一定独立。设
$$\rho =1-\frac{H(X_2|X_1)}{H(X_1)}$$
( A )证明$\rho =\frac{I(X_1;X_2)}{H(X_1)}$
( B )证明$0\le \rho \le 1$
( C )何时有$\rho =0$
( D )何时有$\rho =1$

（a）$$\rho =\frac{H(X_1)-H(X_2|X_1)}{H(X_1)}=\frac{H(X_2)-H(X_2|X_1)}{H(X_1)}=\frac{I(X_1;X_2)}{H(X_1)}$$
(B)因为$0\le H(X_2|X_1)\le H(X_2)=H(X_1)$
$$0\le \frac{H(X_2|X_1)}{H(X_1)}\le 1$$$$0\le \rho \le 1$$
（c）当且仅当$I(X_1;X_2)=0$，即$X_1$和$X_2$独立
（d）当且仅当$I(X_1;X_2)=1$，即$X_1$和$X_2$互为对方的函数

2.25

$$I(X;Y;Z)=I(X;Y)-I(X;Y|Z)=I(X;Y)-(I(X;Y,Z)-I(X;Z))=I(X;Y)+I(X;Z)-I(X;Y,Z)$$

这是基于信息论中的互信息（Mutual Information）和条件互信息（Conditional Mutual Information）的性质得出的等式。让我解释一下每一步是如何得出的：
首先，这个等式是互信息和条件互信息的定义和性质的应用。

1. $I(X;Y;Z)$ 是指随机变量 X、Y 和 Z 之间的互信息。它可以表示为 $I(X;Y;Z)=I(X;Y)-I(X;Y|Z)$。
2. $I(X;Y|Z)$ 是给定 Z 条件下 X 和 Y 之间的条件互信息。所以，$I(X;Y;Z)=I(X;Y)-I(X;Y|Z)$ 表示了在已知 Z 的情况下，X 和 Y 之间的互信息减去了条件互信息。
3. 接下来，我们使用条件互信息的定义：$I(X;Y|Z)=I(X;Y,Z)-I(X;Z)$，将 $I(X;Y|Z)$ 展开为 $I(X;Y,Z)-I(X;Z)$。

4. 将这个表达式代入第一步的等式中，我们得到 $I(X;Y;Z)=I(X;Y)-(I(X;Y,Z)-I(X;Z))$。

5. 最后，重新排列项，得到 $I(X;Y;Z)=I(X;Y)+I(X;Z)-I(X;Y,Z)$。

这个等式的含义在于，X、Y 和 Z 之间的互信息可以分解成两个独立部分：X 和 Y 之间的互信息以及 X 和 Z 之间的互信息，减去 X、Y 和 Z 三者之间的联合互信息。这种分解可以在信息论中的各种应用中很有用，帮助理解信息的流动和依赖关系。