齐次线性方程组 AX = 0 的解

$\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，对其按列分块为 $A=[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n]$，则齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 的向量表达式为：

$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+...+x_n{\mathbf{a}}_n=0$$

该齐次方程组有非零解的充分必要条件是${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$线性相关，又因 r ( A ) = r { a 1 , a 2 , . . . , a n } r(A) = r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} r(A)=r{a1​,a2​,...,an​}，所以有以下定理：

定理1：齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 r(A) < n，即r(A)小于A的列数。

定理1的等价描述：齐次线性方程组 AX = 0 只有零解的充分必要条件是 r(A) = n，即r(A)等于A的列数。

非齐次线性方程组 AX = b 的解

$\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，对其按列分块为 $A=[{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n]$，则非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 的向量表达式为：

$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+...+x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$$

可以看出，该方程组有解的充分必要条件是 $\mathbf{b}$ 可以由 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$ 线性表示，这等价于

r { a 1 , a 2 , . . . , a n } = r { b , a 1 , a 2 , . . . , a n } r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} = r\{\bm{b}, \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} r{a1​,a2​,...,an​}=r{b,a1​,a2​,...,an​}

于是，可以得到以下定理：

定理2：设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{b}$ 是 $m\times 1$ 矩阵，则非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 有解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } r(A) = r\{\widetilde{A}\} r(A)=r{A }，这里 $\tilde{A}$ 是该方程组的增广矩阵 $[A,b].$

另外，从方程组的向量表达式可以看出，其有唯一解的充分必要条件是 $\mathbf{b}$ 可以由 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$ 线性表示，且表示方式唯一。这不仅要求 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$ 与 $\mathbf{b},{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$ 有相同的秩，还要求${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,...,{\mathbf{a}}_n$线性无关，因此有以下定理：

定理3：设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{b}$ 是 $m\times 1$ 矩阵，则非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 有唯一解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } = n r(A) = r\{\widetilde{A}\} = n r(A)=r{A }=n，这里 $\tilde{A}=[A,b].$

定理3的等价命题：$\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 有无穷多解的充分必要条件是 r ( A ) = r { A ~ } < n r(A) = r\{\widetilde{A}\} < n r(A)=r{A }<n.

参考来源

1. 线性代数. 杨刚，吴惠彬编. 北京：高等教育出版社，2007. 8