介绍
我只整理了一些比较关键的、考试可能会考的点（拉普拉斯变换后面那些我们考试不用考，所以就没整理），希望对大家有所帮助！

一、导论

$$信号x(t)\to 系统h(t)\to 响应y(t)$$

信号分类

连续：模拟信号 / 时域连续信号 自变量和函数值都取连续值

离散：时域离散信号 自变量离散，函数值连续

数字信号 — 幅度量化了的时域离散信号

函数值幅值量化后变离散，如 0.64 -> 0.101 用二进制编码表示

连续信号经过抽样得到离散信号，离散信号经过幅值量化才得到数字信号

周期问题

$\frac{2\pi }{w}$为整数，周期为$\frac{2\pi }{w}$

$\frac{2\pi }{w}$是有理数，$\frac{2\pi }{w}=\frac{P}{Q}$ P Q 互为素数，周期为P

$\frac{2\pi }{w}$为无理数，不是周期序列

能量信号和功率信号

能量有界，能量有限信号，功率 P = 0

功率有界，功率有界信号，能量 E = ∞

连续符号是积分，离散符号是累加

系统的线性判断

线性需要满足以下三个条件：

1 可分解性 分解为： $y_{zi}$ (y zero input) 零输入响应 + $y_{zs}$ (y zero status) 零状态响应

$y_{zi}$ $f(t)=0$

$y_{zs}$ $x(0)=0$

如果是 $x(0)\cdot f(t)$ 这种乘积形式，显然不可分解，肯定非线性

2 $y_{zi}$ 线性 3 $y_{zs}$ 线性 判断线性：要满足 均匀性 + 可加性

均匀性 $kx(t)=ky(t)$ 输入增加k倍，输出也增加k倍

可加性 $x1(t)+x2(t)=y1(t)+y2(t)$ 对应成比例

整体判断 $ax1+bx2=ay1+by2$

时变，时不变系统

针对零状态响应，只与激励有关

判断方法： 当输入 $x(t-t_0)$ 时， 输出 $t(t-t_0)$ 时不变

若式子中的 t 只在 $f(t)$ 中，那么时不变，如 $f(t{)}^2$

若有 $g(t)f(t)$ $tf(t)$ 等形式，那么时变

对于其他复杂形式：

$t_0$ 这个行为对于右边两种情况： y中的t，变的是t本身， f(t)中的t，变的是括号( )内

比如 $f(-t)$ y 中的 t 对应 $f(-(t-t_0))$ f( ) 中的 t 对应 $f(-t-t_0)$ 因此为时变

比如 $f(\frac{t}{3})$ y 中的 t 对应 $f(\frac{t-t_0}{3})$ f( ) 中的 t 对应 $f(\frac{t}{3}-t_0)$ 因此为时变

因果系统判断

先有输入，才有输出，即 $t(in)⩽t(out)$ 才正确

特例：如果没给出 t > 0 的前提条件，需要先进行分类讨论

记忆性系统判断

当前输出只取决于当前输入，无记忆；
取决于之前输入，有记忆；
取决于之后输入，啥也不是 …

稳定性系统判断

当输入有界时，输出也有界，则系统稳定

二、信号时域分析

阶跃函数

$\mu (t)$ 0 跳到 1

冲激函数

$\delta (t)$ 类似阶跃函数的导数，积分（面积） = 1，仅在0时刻有值，其他地方的y均=0

取样性质

$$\begin{gathered} f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t)dt=f(0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=f(0) \\ f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0) \\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_0)dt=f(t_0) \end{gathered}$$

四种特性

没有积分就是筛选特性，有积分就是抽样特性

1 筛选特性

$$f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)=f(t_0){\delta }^{\prime }(t-t_0)-f^{\prime }(t_0)\delta (t-t_0)$$

函数 * 冲激函数 = $t_0$ 位置的值，在求冲激响应时会用到！

2 抽样特性

注意：冲击偶后面要求导 + 变号，冲激就只是取样性质而已
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-f^{\prime }(t_0)$$

相乘的积分 = 在 $t_0$ 位置的值

3 展缩特性

0阶导（就是正常没导数的情况）
$$\delta (at)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (t)(a\ne 0)$$
n阶导
$${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{a^n\left|a\right|}{\delta }^{(n)}(t)(a\ne 0)$$
一般情况
$$\delta (at+b)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (t+\frac{b}{a})(a\ne 0)$$

$${\delta }^{\prime }(at+b)=\frac{1}{a\left|a\right|}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})(a\ne 0)$$

at 的系数 a 可以提到外面，当 a = -1 时，冲激信号是偶函数

4 卷积特性

西电讲解 推导公式
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$
卷积定义式 $\delta \to g$ 是信号变为零状态响应的变形推导
$$f(t)=f(t)\ast g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

卷积公式 函数与冲激信号的卷积 = 函数 t-t0 延时

卷积作用

系统函数取反，然后从左边根据时间 t 不断向右挪，然后和自变量x(t)相乘求积分，这就是卷积，以及其应用。

冲激偶函数

${\delta }^{\prime }(t)$ 冲激函数的导数

奇函数性质

冲激函数是偶函数，所以冲激偶函数是奇函数（好绕，不知道为什么要这么取名字…）

$${\delta }^{\prime }(-t)=-{\delta }^{\prime }(t)$$

公式

$$\begin{gathered} f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t) \\ f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)=f(t_0){\delta }^{\prime }(t-t_0)-f^{\prime }(t_0)\delta (t-t_0)(筛选特性) \end{gathered}$$

推导与证明

$$\begin{gathered} {[f(t)\delta (t)]}^{\prime }={f(t)}^{\prime }\delta (t)+f(t){\delta (t)}^{\prime } \\ f(t){\delta (t)}^{\prime }={[f(t)\delta (t)]}^{\prime }-{f(t)}^{\prime }\delta (t) \\ 由冲激函数性质:f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t) \\ 因此将f(t)中的t代换成0,得: \\ f(t){\delta (t)}^{\prime }={[f(0)\delta (t)]}^{\prime }-{f(0)}^{\prime }\delta (t) \\ =f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t) \end{gathered}$$

斜坡信号

$r(t)$ 类似于ReLU，在单纯的 $f(t)$情况下就是ReLU

但是 $r(t)$ 可以平移和伸缩，右半部分是 $kx+b$ 这个形式

三、系统时域分析

连续时间LTI系统的响应

微分方程求解和高数一样，注意自变量x换成t，u(t)=1 (t>0) 就行

注意例题（重点）

离散时间LTI系统的响应

差分方程求解，积分变累加

注意例题（重点）

固有响应：本来就有的响应（后面和特征根匹配的）

强迫响应：外界输入的

暂态响应：暂时的，k趋于无穷大时，值趋于0的项

稳态响应：稳定的，k趋于无穷大时，值不趋于0的项

四、周期频域分析

三角形式的傅里叶级数

$f(t)分为：直流+基波+谐波分量$

n = 1：基波分量 n > 1：谐波分量

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right)$$

$$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\text{for }n\ge 1$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt\text{for }n\ge 1$$

$若函数f(t)的周期为:2\pi ，即T=2\pi ，则傅里叶级数可以简化为：$

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nt)+b_n\sin (nt)\right)$$

$相应的系数(a_n)和(b_n)的计算公式变为：$

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)dt$$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos (nt)dt\text{for }n\ge 1$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin (nt)dt\text{for }n\ge 1$$

信号为偶函数，不含正弦项

信号为奇函数，不含直流和余弦项

半波对称函数，傅里叶级数只含偶次谐波，又称偶谐函数

半波镜像对称函数，傅里叶级数只含奇次谐波，又称奇谐函数

指数形式的傅里叶级数

假设 $f(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期信号，即 $f(t)=f(t+T)$。它可以表示为：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

傅里叶级数系数 $C_n$ 可以通过以下公式计算得到：

$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$$

$C_n$也可以不用算啊， 如果题目给了$f(t)$的话，直接欧拉公式然后看出来啊，然后画频谱图就行

频谱图公式：
$$C_n=\left|C_n\right|e^{j\varphi n}$$
很明显可以直接看出来 $\varphi$ 是什么东西，到时两个图横坐标都是$w$，纵坐标一个$|C_n|$ ，一个 $\varphi$

注意：如果$C_n$已经是实数了（没有 j ）而不是复数，那么就没有两个图，画一个纵坐标为$C_n$的就行！

五、非周期频域分析

傅里叶变换

正变换：时域 $\to$ 频域

反变换：频域 $\to$ 时域

F(jw)称为f(t)的傅里叶变换，或频谱密度函数，简称频谱。

$F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

f(t)称为F(jw)的傅里叶反变换或原函数，就是把指数形式的傅里叶级数变换成F(jw)的形式

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

下面是b站 张锦皓Roger up主整理的图

• 如果不是速成而是要好好学的话，我推荐看他的课程，主要是感觉他的题目过程讲解很细致清晰

连续时间傅里叶变换的性质

六、系统频域分析

时域：信号 $x(t)\to 系统h(t)\to 响应y(t)$

频域：信号 $E(jw)\to 系统H(jw)\to 响应Y(jw)$

• 省流：全换成大写，t 换成 jw

系统对信号的响应

$$e^{j{\omega }_{0}t}\to y(t)=H(j{\omega }_0)e^{j{\omega }_{0}t}=\left|H(j{\omega }_0)\right|e^{j[{\omega }_{0}t+\varphi ({\omega }_0)]}$$

$$cos{\omega }_{0}t\to y(t)=\left|H(j{\omega }_0)\right|cos[{\omega }_{0}t+\varphi ({\omega }_0)]$$

$$cos({\omega }_{0}t+{\varphi }_n)\to y(t)=\left|H(j{\omega }_0)\right|cos[{\omega }_{0}t+\varphi ({\omega }_0)+{\varphi }_n]$$