计算机辅助几何设计：曲线曲面基础知识

参数化表示

空间曲线曲面常用参数化表示，即： $x = x (u), y = y (u), z = z (u)$ 。用位置矢量形式表示就是 $p = p (u)$ ，其中参数u可能有意义，也可能没有意义，例如对于 $[cos\theta, sin\theta]$ 中的 $\theta$ 有意义， $x=a_0+a_1u+a_2u^2$ 中的u就没有意义。
同一曲线可以有多种不同参数化表示，区别在于曲线上的点和参数域的点对应关系不同。例如 $p=up_1+(1-u)p_0$ 和 $p=u^3p_1+(1-u^3)p_0$ ，曲线是一样的，对参数域u同样划分为100等分，但是画出来密度是不一样的：
在这里插入图片描述

位置矢量对参数u求导，得到的导数向量称为导矢 $\dot{p}=[\frac{dx}{du},\frac{dy}{du},\frac{dz}{du}]$ 。如果对一个曲线进行参数化，参数域内一阶导矢处处不为零，称为正则曲线。

注意，向量的一阶导矢是曲线的切线方向，向量的各阶导矢方向不一定相同。如果向量在某处一阶导矢为0，那么它的切线方向由最低阶不为零导矢方向确定

设曲线弧长微分为 $d s$ ，则弧长微分计算：
$\begin{aligned} ds & = \sqrt{dp^2} = \sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\ & = \sqrt{\frac{dp}{du}^2}du = |\dot{p(u)}|du \end{aligned}$

根据上面ds的计算方法可以得知，位置矢量对曲线弧长求导，得到的一阶导矢，是单位矢量。
对于单位矢量 $|\alpha|=1$ ，则求导得 $\alpha \alpha^{\prime}=0$ ，所以单位矢量的导数 $\beta=\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|}$ 一定是垂直于它本身。再取他们的叉积得到 $\gamma=\alpha \times \beta$ ，三个单位矢量称为曲线的基本矢量。
其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 组成的平面称为密切面， $\alpha$ 和 $\gamma$ 组成的平面称为从切面， $\gamma$ 和 $\beta$ 组成的平面称为副法面

图片来自施法中老师的《计算机辅助几何涉及与非均匀有理B样条》一书的21页
其中 $\kappa = \frac{|\dot{p} \times \ddot{p}|}{|\dot{p}|^3}$ 为曲率， $\tau$ 为挠率

计算弧长：
$\begin{align} s(u) & = \int_{u_0}^{u} \frac{ds}{du}du = \int_{u_0}^{u}|\dot{p(u)}|du \\ & = \int_{u_0}^{u} \sqrt[]{[\dot{x(u)}]^2+[\dot{y(u)}]^2+[\dot{z(u)}]^2} du \end{align}$
因为s代表弧长，随着u的增大，单调递增，所以存在反函数 $u = u (s)$ 。所以就得到了以曲线自身弧长为参数的曲线方程： $p = p (u (s))$ ，如果以s为参数，则 $p = p (s)$ ,称为曲线的自然参数方程，弧长s称为自然参数，自然参数方程在轨迹规划中比较常用，在速度规划时，往往以ds为步进长度，计算对应的参数u进一步得出位置矢量p。

曲线/曲面连续性

参数连续性：对于函数曲线，如果曲线上一点具有相等的直到k阶的左右导数，那么称这个点是 $C^k$ 连续的。对于参数曲线，如果在一点处具有直到k阶的连续导矢，称这个点为 $C^k$ 连续。在几何上 $C^0,C^1,C^2$ 连续体现为：该点处图形连续，切线连续，曲率连续。
几何连续性：如果两个曲线相应的弧长参数化在公共连接点具有 $C^k$ 连续，那么它们在该点处具有 $G^k$ 连续性。 $G^0,G^1,G^2$ 体现为图形连续，一阶导矢方向连续 $\dot{p_1(u)} = k\dot{p_2(u)}$ ，二阶导矢方向连续 $\ddot{p_1(u)} = k\ddot{p_2(u)}$ 。
- 还有几种等价的定义，在书上第六章175页，自行查看。其中beta约束那个定义挺有意思的。/