内容来源
数值分析第五版 清华大学出版社

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误差的来源与分类

数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差

模型误差

用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的。

我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。

由于这种误差难以用数量表示，通常都假定数学模型是合理的，这种误差可忽略不计，在“数值分析”中不予讨论。

观测误差

数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等，这些参量显然也包含误差。

这种由观测产生的误差称为观测误差，在“数值分析”也不讨论这种误差。

截断误差（也称方法误差）

当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。

例如，可微函数 $f(x)$ 用 $TaylorTaylor$ 多项式

$$P_n(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

近似代替，则数值方法的截断误差是

$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1},\xi 在0与x之间$$

舍入误差

用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差。

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误差与有效数字

绝对误差

设 $x$ 为准确值，$x^{\ast }$ 为 $x$ 的一个近似值，称 $e^{\ast }=x^{\ast }-x$ 为近似值的绝对，简称误差

误差限

通常我们不能算出准确值 $x$ ，也不能算出误差 $e^{\ast }$ 的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值不超过某正数 ${\epsilon }^{\ast }$ ，也就是误差绝对值的一个上界

相对误差

我们把近似值的误差 $e^{\ast }$ 与准确值 $x$ 的比值

$$\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$

称为近似值 $x^{\ast }$ 的相对误差，记作 $e_r^{\ast }$

在实际计算中，由于真值 $x$ 总是不知道的，通常取

$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$

作为 $x^{\ast }$ 的相对误差，条件是 $e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}$ 较小，此时

$$\frac{e^{\ast }}{x}-\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{e^{\ast }(x^{\ast }-x)}{x^{\ast }x}=\frac{(e^{\ast }{)}^2}{x^{\ast }(x^{\ast }-e^{\ast })}=\frac{(e^{\ast }/x^{\ast }{)}^2}{1-(e^{\ast }/x^{\ast })}$$

是 $e_r^{\ast }$ 的平方项级，故可忽略不计

相对误差限

相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作 ${\epsilon }_r^{\ast }$ ，即 ${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{{\epsilon }^{\ast }}{|x^{\ast }|}$

相对误差与相对误差限是无量纲的，而误差与误差限是有量纲的

有效数字

若近似值 $x^{\ast }$ 的误差限是某一位的半个单位，该为到 $x^{\ast }$ 的第一位非零数字共有 $n$ 位，就说 $x^{\ast }$ 有 $n$ 位有效数字。它可表示为

$$x^{\ast }=\pm 10^m\times (a_1+a_2\times 10^{-1}+\cdots +a_n\times 10^{-(n-1)})$$

上式就是科学计数法

其中 $a_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 是 $0$ 到 $9$ 中的一个数字，$a_1\ne 0$ ，$m$ 为整数，且

绝对误差限为

$$|x-x^{\ast }|⩽\frac{1}{2}\times 10^{m-n+1}$$

相对误差限为

$${\epsilon }_r^{\ast }⩽\frac{1}{2a_1}\times 10^{-(n-1)}$$

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数值运算的误差估计

加减乘除

设两个近似数 $x_1^{\ast }$ 与 $x_2^{\ast }$ 的误差限分别为 $\epsilon (x_1^{\ast })$ 和 $\epsilon (x_2^{\ast })$ ，则它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别满足不等式

$$\begin{gathered} \epsilon (x_1^{\ast }\pm x_2^{\ast })⩽\epsilon (x_1^{\ast })+\epsilon (x_2^{\ast }) \\ \epsilon (x_1^{\ast }{x}_2^{\ast })⩽|x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast }) \\ \epsilon (x_1^{\ast }/x_2^{\ast })⩽\frac{|x_1^{\ast }|\epsilon (x_2^{\ast })+|x_2^{\ast }|\epsilon (x_1^{\ast })}{|x_2^{\ast }{|}^2},x_2^{\ast }\ne 0 \end{gathered}$$

函数运算

当自变量有误差时计算函数值也产生误差，其误差限可利用函数的 $Taylor$ 展开式进行估计

设 $f(x)$ 是一元可微函数，$x$ 的近似值为 $x^{\ast }$ ，则

$$f(x)-f(x^{\ast })=f^{\prime }(x)(x-x^{\ast })+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}(x-x^{\ast }{)}^2$$

取绝对值得

$$|f(x)-f(x^{\ast })|=|f^{\prime }(x)|\epsilon (x^{\ast })+\frac{|f^{\prime \prime }(\xi )|}{2}{\epsilon }^2(x^{\ast })$$

假定 $f^{\prime }(x^{\ast })$ 与 $f^{\prime \prime }(x^{\ast })$ 的比值不太大，可忽略 $\epsilon (x^{\ast })$ 的高阶项，得

这个忽略有些草率

$$\epsilon (f(x^{\ast }))\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\epsilon (x^{\ast })$$

同理，当 $f$ 为多元函数时

$$\epsilon (f^{\ast })\approx \sum _{i=1}^n\left|\frac{\partial f}{\partial x_i^{\ast }}\right|\epsilon (x_i^{\ast })$$