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前言

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📋专栏：优选算法
🔑本章内容：二分查找
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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、二分查找模板：

1.1 朴素二分查找模板

• 对于上述mid=left+(right-left)/2其实是可以写成mid=(left+right)/2不过前者是为了防溢出
• 对于mid=left+(right-left)/2也可以写成mid=left+(right-left+1)/2这是没区别的在朴素二分查找模板中，因为当查找的数据长度是奇数时，假设长度为7，所以left=0，right=6，mid=(6-0)/2=3 / mid=(6-0+1)/2=3相同，只需要考虑偶数时，假设长度为6，所以left=0，right=5，mid=(5-0)/2=2 / mid=(5-0+1)/2=3，这并不影响查询结果

1.2 查找区间左端点模板

对于这个模板的可以看一下例题2.2对照着来学习重点关注循环条件和求中间值mid

1.3 查找区间右端点模板

对于这个模板的可以看一下例题2.2对照着来学习重点关注循环条件和求中间值mid

二、二分查找示例：

2.1 ⼆分查找

1. 题⽬链接：leetcode 704.⼆分查找

2. 题⽬描述：
   

3. 算法流程：
   a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
   b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
   i. nums[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
   ii. nums[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程；
   iii. nums[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；
   c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

4. C++代码

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target)left=mid+1;else if(nums[mid]>target)right=mid-1;else return mid;}return -1;}
};

2.2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

1. 题⽬链接： Leetcode 34.在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

2. 题⽬描述：
   

3. 算法思路：
   ⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界

4. 寻找左边界思路：
   • 寻找左边界：
   ◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
   ▪ 左边区间 [left, mid- 1] 都是⼩于 x 的；
   ▪ 右边区间（包括左边界） [mid, right] 都是⼤于等于 x 的；
   • 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
   ◦ 当我们的 mid 落在 [left, mid- 1] 区间的时候，也就是 nums[mid] <target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
   ◦ 当 mid 落在 [mid， right] 的区间的时候，也就是 nums[mid] >= target 。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去），此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
   • 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界

5. 注意：这⾥找中间元素需要向下取整。
   因为后续移动左右指针的时候：
   • 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
   • 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left = = 1 ， right = = 2 ， mid = = 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

6. 寻找右边界思路：
   • 寻右左边界：
   ◦ ⽤ mid表⽰右边界；
   ◦ 我们注意到右边界的特点：
   ▪ 左边区间 （包括右边界） [left, mid] 都是⼩于等于 x 的；
   ▪ 右边区间 [mid+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
   • 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
   ◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） ，此时更新 left 到 mid 的位置；
   ◦ 当 mid 落在 [mid+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
   • 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

7. 注意：这⾥找中间元素需要向上取整。
   因为后续移动左右指针的时候：
   • 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left = = 1， right == 2，mid = = 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
   • 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。

8. C++代码

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.size()==0)return{-1,-1};int left=0,right=nums.size()-1;int begin=0,end=0;//求左端点while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target)left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]!=target)return {-1,-1};else begin=left;//求右端点left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target)left=mid;else right=mid-1;}if(nums[right]!=target)return {-1,-1};else end=right;return {begin,end};}
};

2.3 搜索插⼊位置

1. 题⽬链接：35. 搜索插⼊位置
2. 题⽬描述：
   
3. 解法（⼆分查找算法）：
   算法思路：

• 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：
  • [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；
  • [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。
• 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：
  ▪ 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
  ▪ 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
• 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者 right 所在的位置就是我们要找的结果。

4. C++代码

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {if(nums[nums.size()-1]<target)return nums.size();int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target)left=mid+1;else right=mid;}return left;}
};

2.4 x 的平⽅根

1. 题⽬链接：69. x 的平⽅根
2. 题⽬描述：
   
3. 解法⼀（暴⼒查找）：
   算法思路：
   依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i ： （这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 + 1 。因为我们找到结果之后直接就返回了，往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间，既耽误时间，⼜可能出错）
   ▪ 如果 i * i == x ，直接返回 x ；
   ▪ 如果 i * i > x ，说明之前的⼀个数是结果，返回 i - 1 。
   由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值，因此使⽤ long long 类型
4. 解法⼆（⼆分查找算法）：
   算法思路：设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：

• 分析 index 左右两次数据的特点：
  ▪ [0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；
  ▪ [index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。
  因此可以使⽤⼆分查找算法。

5. C++代码

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x < 1) return 0;long long left=0,right=x;while(left<right){long long mid=left+(right-left+1)/2;if(mid*mid<=x)left=mid;else right=mid-1;}return right;}
};

2.5 ⼭脉数组的峰顶索引

1. 题⽬链接：852. ⼭脉数组的峰顶索引
2. 题⽬描述：
   
3. 解法⼀（暴⼒查找）：
   算法思路：
   峰顶的特点：⽐两侧的元素都要⼤。
   因此，我们可以遍历数组内的每⼀个元素，找到某⼀个元素⽐两边的元素⼤即可
4. 解法⼆（⼆分查找）：
   算法思路：

• 分析峰顶位置的数据特点，以及⼭峰两旁的数据的特点：
  ◦ 峰顶数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ；
  ◦ 峰顶左边的数据特点： arr[i] > arr[i - 1] && arr[i] < arr[i + 1] ，也就是呈现上升趋势；
  ◦ 峰顶右边数据的特点： arr[i] < arr[i - 1] && arr[i] > arr[i + 1] ，也就是呈现下降趋势。
• 因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下⾯三种情况：
  ◦ 如果 mid 位置呈现上升趋势，说明我们接下来要在 [mid + 1, right] 区间继续搜索；
  ◦ 如果 mid 位置呈现下降趋势，说明我们接下来要在 [left, mid - 1] 区间搜索；
  ◦ 如果 mid 位置就是⼭峰，直接返回结果。

5. C++代码

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left=1,right=arr.size()-2;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(arr[mid]>arr[mid-1])left=mid;else right=mid-1;}return right;}
};

2.6 寻找峰值

1. 题⽬链接：162. 寻找峰值
2. 题⽬描述：
   
3. 解法⼆（⼆分查找算法）：
   算法思路：
   寻找⼆段性：
   任取⼀个点 mid ，与下⼀个点 mid + 1 ，会有如下两种情况：
   • nums[mid ] > nums[mid + 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负⽆穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；
   • nums[mid] < nums[mid + 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负⽆穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。
   当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题
4. C++代码

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;//这里每次mid都是距离left近的值if(nums[mid]>nums[mid+1])right=mid;//所以这里不会越界即使有两个数的时候else left=mid+1;}return left;}
};

2.7 寻找旋转排序数组中的最⼩值

1. 题⽬链接：153. 寻找旋转排序数组中的最⼩值
2. 题⽬描述：
   
   关于暴⼒查找，只需遍历⼀遍数组，这⾥不再赘述。
3. 解法（⼆分查找）：
   算法思路：
   题⽬中的数组规则如下图所⽰：
   
   其中 C 点就是我们要求的点。
   ⼆分的本质：找到⼀个判断标准，使得查找区间能够⼀分为⼆。
   通过图像我们可以发现， [A，B] 区间内的点都是严格⼤于 D 点的值的， C 点的值是严格⼩于 D 点的值的。但是当 [C，D] 区间只有⼀个元素的时候， C 点的值是可能等于 D 点的值的。

• 因此，初始化左右两个指针 left ， right ：
• 然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：
  ▪ 当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼤于 D 点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1，right] 上；
  ▪ 当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格⼩于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。
• 当区间⻓度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。

4. C++代码

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>nums[nums.size()-1])left=mid+1;else right=mid;}cout<<right<<endl;return nums[right];}
};

2.8 点名

1. 题⽬链接：LCR 173. 点名
2. 题⽬描述：
   
3. 解法（⼆分查找算法）：
   算法思路：
   关于这道题中，时间复杂度为 O(N) 的解法有很多种，⽽且也是⽐较好想的，这⾥就不再赘述。本题只讲解⼀个最优的⼆分法，来解决这个问题。
   在这个升序的数组中，我们发现：
   ▪ 在第⼀个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；
   ▪ 在第⼀个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。
   因此，我们可以利⽤这个「⼆段性」，来使⽤「⼆分查找」算法
4. C++代码

class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& records) {int left=0,right=records.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(mid==records[mid])left=mid+1;else right=mid;}return left==records[records.size()-1]?left+1:left;}
};

三、二分查找总结：

请⼤家⼀定不要觉得背下模板就能解决所有⼆分问题。⼆分问题最重要的就是要分析题意，然后确定要搜索的区间，根据分析问题来写出⼆分查找算法的代码
模板记忆技巧：

• 关于什么时候⽤三段式，还是⼆段式中的某⼀个，⼀定不要强⾏去⽤，⽽是通过具体的问题分析情况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从⽽选择⼀个模板。
• 当选择两段式的模板时：在求 mid 的时候，只有 right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）