考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

数列的极限

定义 如果对于任意给定的$ϵ>0$，总存在正整数$N$，当$n>N$时，恒有$$|x_n-a|<ϵ$$成立，则称常熟$a$为数列{x_n}当$n$趋于无穷时的极限，记为${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$
TIPS:

1、$ϵ$是用来刻画$x_n与a$的接近程度，$N$用来刻画$n\to \infty$这个极限过程；
2、数列 { x n } \{x_n\} {xn​}的极限是否存在与数列的前有限项无关；
3、如果一个数列有极限，该数列收敛，否则发散；
5、常用数列极限结果：${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0(|q|<1)$、${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^{\alpha }}=0(\alpha >0)$
6、若数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛于$a$，则其任一子数列也收敛于$a$;

定理： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$充要条件是${\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}=a$。
推论： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}=a，{\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}=b$，且$a\ne b$，则${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$极限不存在。

练习1：${\lim }_{n\to \infty }(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=$?

知识点：${\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}=a$
解：$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{2n+1}{2n}{)}^1=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{2n}{2n-1}{)}^{-1}=1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=1 \end{gathered}$$
用幂指函数恒等式和极限也能解决此题${u(x)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$、$\ln (1+x)\sim x({\lim }_{x\to 0})$

练习2：${\lim }_{n\to \infty }[\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}{]}^n=$

用幂指函数恒等式解决此题${u(x)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$
解：$$\begin{gathered} \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}=1-\frac{1}{n+1} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }[\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}{]}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{n+1}{)}^n \\ \underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{n+1}{)}^n=e^{{\lim }_{n\to \infty }n\times \ln (1-\frac{1}{n+1})} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\ln (1+(-\frac{1}{n+1}))\sim \underset{n\to \infty }{\lim }(-\frac{1}{n+1}) \\ {e}^{{\lim }_{n\to \infty }n\times \ln (1-\frac{1}{n+1})}=e^{{\lim }_{n\to \infty }n\times (-\frac{1}{n+1})}=e^{-1} \end{gathered}$$

函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$x>X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to +\infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$

定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$x<-X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to -\infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$

定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$|x|>X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to \infty$时的极限，记为${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$
TIPS:

1、$x\to \infty$是指$|x|\to +\infty$，数列极限中的$n\to \infty$是指$n\to +\infty$;
2、常用极限结果：$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^{\alpha }}=0(\alpha >0) \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0、\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ,(0<a<1) \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty 、\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0,(a>1) \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

定理 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A⟺{\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$
推论 若${\lim }_{x\to -\infty }f(x)，{\lim }_{x\to +\infty }f(x)$至少有一个极限不存在或都存在但不相等，则${\lim }_{x\to \infty }f(x)$极限不存在

练习1：试判定${\lim }_{x\to \infty }\frac{|x|}{x}$的极限是否存在？

知识点：若${\lim }_{x\to -\infty }f(x)，{\lim }_{x\to +\infty }f(x)$至少有一个极限不存在或都存在但不相等，则${\lim }_{x\to \infty }f(x)$极限不存在
解: $$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x}=1 \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x}{x}=-1 \\ -1\ne 1,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{|x|}{x}极限不存在 \end{gathered}$$

练习2：证明${\lim }_{x\to \infty }\arctan x，{\lim }_{x\to \infty }{a}^x(a>0且a\ne 1)$都不存在

知识点：若${\lim }_{x\to -\infty }f(x)，{\lim }_{x\to +\infty }f(x)$至少有一个极限不存在或都存在但不相等，则${\lim }_{x\to \infty }f(x)$极限不存在
证明：$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2} \\ \frac{\pi }{2}\ne -\frac{\pi }{2},\underset{x\to \infty }{\lim }\arctan x不存在 \\ 0<a<1,\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty \\ a>1,\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0 \\ 0\ne +\infty ,\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x不存在 \end{gathered}$$

练习3：求${\lim }_{x\to \infty }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$极限？

知识点：${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A⟺{\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A$
解：$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}=1 \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}=-1 \\ -1\ne 1，\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}不存在 \end{gathered}$$

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自变量趋于有限值时函数的极限

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定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记为${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$x_0-\delta <x<x_0$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记为$$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f(x)=A，或f({x_0}^{-})=A，或f(x_0-0)=A$$

定义 若对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$x_0<x<x_0+\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数$A$为$f(x)$当$x\to x_0$时的右极限，记为$$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f(x)=A，或f({x_0}^{+})=A，或f(x_0+0)=A$$

定理 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟺{\lim }_{x\to {x_0}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to {x_0}^{-}}f(x)=A$
推论 若${\lim }_{x\to {x_0}^{-}}f(x)，{\lim }_{x\to {x_0}^{+}}f(x)$至少有一个极限不存在或都存在但不相等，则${\lim }_{x\to x_0}f(x)$极限不存在

TIPS:

1、集合意义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\mathring{U}(x_0,\delta )$时，曲线$y=f(x)$夹在两直线$y=A-ϵ和y=A+ϵ$之间；
2、分段函数在分界点处的极限，而在分界点两侧函数表达式不同，需要分左、右极限讨论求极限；
3、$e^{\infty }$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0，\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0，\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \\ {e}^{\infty }\ne \infty 、e^{+\infty }=+\infty 、e^{-\infty }=0 \end{gathered}$$
4、$\arctan \infty$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2} \\ \arctan \infty \ne \frac{\pi }{2}、\arctan +\infty =\frac{\pi }{2}、\arctan -\infty =-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

练习1：求$$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})$$

知识点：$e^{\infty }$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0，\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0，\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \\ {e}^{\infty }\ne \infty 、e^{+\infty }=+\infty 、e^{-\infty }=0 \end{gathered}$$
解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}-\frac{\sin x}{x})=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+0}{1+0}-1)=1 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{x}) \\ 分子分母同除以e^{\frac{4}{x}}得到下一步 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{2e^{-\frac{4}{x}}+e^{-\frac{3}{x}}}{1+e^{-\frac{4}{x}}}+1)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{0+0}{1+0}+1)=1 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=1 \\ \underset{x\to 0}{\lim }(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|})=1 \end{gathered}$$

练习2：求$$f(x)=\{\begin{array}{l}3-x^2,|x|\le 1\\ 1+x,|x|\ge 1\end{array}$$，试着讨论${\lim }_{x\to -1}f(x)、{\lim }_{x\to 1}f(x)$.

知识点：分段函数在分界点处的极限，而在分界点两侧函数表达式不同，需要分左、右极限讨论求极限
解:$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{l}3-x^2,-1\le x\le 1\\ 1+x,x>1\\ 1+x,x<-1\end{array} \\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(1+x)=0 \\ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }(3-x^2)=2 \\ \underset{x\to -1}{\lim }f(x)不存在 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(3-x^2)=2 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(1+x)=2 \\ \underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2 \end{gathered}$$

练习3：${\lim }_{x\to 2}\arctan \frac{1}{x-2}=$

知识点：$\arctan \infty$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2} \\ \arctan \infty \ne \frac{\pi }{2}、\arctan +\infty =\frac{\pi }{2}、\arctan -\infty =-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$
解:$$\begin{gathered} \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x-2}=-\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x-2}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x-2}\ne \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x-2}，极限不存在 \end{gathered}$$

极限的性质

有界性

有界性 (数列)如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛，那么数列 { x n } \{x_n\} {xn​}一定有界。

收敛一定有界，有界不一定收敛。例如$x_n=(-1{)}^n$有界但不收敛。

有界性 函数若${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$某去心邻域有界（局部有界）

在$x_0$去心邻域有界，但${\lim }_{x\to x_0}f(x)$不一定存在。例如$\sin \frac{1}{x}$在$x=0$的去心领域有界，但它在$x=0$处极限不存在。

保号性

保号性 (数列)设${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$

1. 如果$A>0$，则存在$N>0$，当$n>N$时，$x_n>0$
2. 如果$A<0$，则存在$N>0$，当$n>N$时，$x_n<0$
3. 如果存在$N>0$，当$n>N$时，$x_n\ge 0$，则$A\ge 0$
4. 如果存在$N>0$，当$n>N$时，$x_n\le 0$，则$A\le 0$

保号性 (函数)设${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

1. 如果$A>0$，则存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)>0$
2. 如果$A<0$，则存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)<0$
3. 若存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)\ge 0$ , 那么$A\ge 0$
4. 若存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)\le 0$ , 那么$A\le 0$

练习1： 下列函数在$(0,+\infty )$内有界的是（）

$$\begin{gathered} e^{\frac{1}{x}} \\ \ln x \\ \arctan \frac{1}{x} \\ \frac{x^2}{x+1} \end{gathered}$$

知识点：
$e^{\infty }$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0，\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0，\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \\ {e}^{\infty }\ne \infty 、e^{+\infty }=+\infty 、e^{-\infty }=0 \end{gathered}$$
$\arctan \infty$型极限：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2} \\ \arctan \infty \ne \frac{\pi }{2}、\arctan +\infty =\frac{\pi }{2}、\arctan -\infty =-\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$
解：$$\begin{gathered} e^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty ,无界 \\ \ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=+\infty ,无界 \\ \arctan \frac{1}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}、\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2} \\ \frac{x^2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x+1}=+\infty ,无界 \end{gathered}$$

练习2：若$f(x)>g(x)$，且${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A，{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$则

A、$A>B$
B、$A\ge B$
C、$|A|\ge |B|$
D、$|A|\ge |B|$

知识点：有界性 (函数)设${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$
3. 若存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)\ge 0$ , 那么$A\ge 0$
4. 若存在$\delta >0$，当$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)\le 0$ , 那么$A\le 0$
解：令$h(x)=f(x)-g(x)$，则$h(x)>0$，则${\lim }_{x\to x_0}h(x)=A-B\ge 0$,即$A\ge B$，故选B

练习3：设${\lim }_{n\to \infty }{a}_n且a\ne 0$，则当$n$充分大时有

A、$|a_n|>\frac{|a|}{2}$
B、$|a_n|<\frac{|a|}{2}$
C、$a_n>a-\frac{1}{n}$
D、$a_n<a+\frac{1}{n}$

知识点：数列极限定义
定义 如果对于任意给定的$ϵ>0$，总存在正整数$N$，当$n>N$时，恒有$$|x_n-a|<ϵ$$成立，则称常熟$a$为数列{x_n}当$n$趋于无穷时的极限，记为${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$
知识点：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a，则$${\lim }_{n\to \infty }|x_n|=|a|$

解：

采用 数列极限定义
$$\begin{gathered} 如果对于任意给定的ϵ=\frac{|a|}{2}>0， \\ 总存在正整数N，当n>N时， \\ 恒有|a_n-a|<\frac{|a|}{2}成立， \\ |a|=|a-a_n+a_n|\le |a-a_n|+|a_n|<\frac{|a|}{2}+|a_n| \\ |a|<\frac{|a|}{2}+|a_n|\Rightarrow \frac{|a|}{2}<|a_n| \end{gathered}$$

采用 知识点：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a，则{\lim }_{n\to \infty }|x_n|=|a|$
$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=|a|, \\ 则\underset{n\to \infty }{\lim }(|a_n|-\frac{|a|}{2})=\frac{|a|}{2}>0 \\ 由极限保号性可知， \\ 当n充分大时有，|a_n|-\frac{|a|}{2}>0 \end{gathered}$$

练习4：函数$f(x)=\frac{|x|\sin (x-2)}{x(x-1)(x-2{)}^2}$在下列哪个区间内有界？

A、（-1，0）
B、（0，1）
C、（1，2）
D、（2，3）

知识点： 函数若${\lim }_{x\to x_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$某去心邻域有界（局部有界）

解：$$\begin{gathered} 由函数局部有界定义可知、等价无穷小\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ 首先计算0、2（属于选项接点）点处极限是否存在 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\frac{\sin (0-2)}{(0-1)(0-2{)}^2}=-\frac{\sin (-2)}{4} \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\frac{-\sin (0-2)}{(0-1)(0-2{)}^2}=\frac{\sin (-2)}{4} \\ \underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{\sin (x-2)}{(2-1)(x-2{)}^2}=\frac{1}{(x-2)}=\infty \\ 排除选项C、D \\ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{\sin (-1-2)}{(-1-1)(-1-2{)}^2}=-\frac{\sin (-3)}{18} \\ \underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{\sin (-1)}{(1-1)(1-2{)}^2}=\infty \\ 故选A \end{gathered}$$

TIPS: 若$f(x)$在$(a,b)$内连续 $$\begin{gathered} \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)，\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)都存在\Rightarrow f(x)在(a,b)内有界 \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)，\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)至少一个为无穷大\Rightarrow f(x)在(a,b)内无界 \end{gathered}$$

函数极限与数列极限的关系

定义（海涅定理） 若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ ,则对任意数列$x_n，{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0，且x_n\ne x_0$，都有${\lim }_{x\to x_0}f(x_n)=A$
TIPS:

1、在$x_0$处函数极限存在；
2、数列$x_n$在$n\to \infty$时极限为$x_0$，且$x_n\ne x_0$

练习1：求极限$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\tan }^n(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})$$

知识点：海涅定理、幂指函数恒等式、等价无穷小$\ln (1+x)x(li{m}_{x\to 0})$、麦克劳林公式
解:$$\begin{gathered} 令\frac{1}{n}=x，则可以推到如下 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\tan }^{\frac{1}{x}}(\frac{\pi }{4}+2x)\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }[\tan (\frac{\pi }{4}+2x){]}^{\frac{1}{x}} \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }[\tan (\frac{\pi }{4}+2x){]}^{\frac{1}{x}}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}\ln (\tan (\frac{\pi }{4}+2x))} \\ 等价无穷小：\ln (1+(\tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1))\sim \tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}\ln (\tan (\frac{\pi }{4}+2x))\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}(\tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1) \\ (\tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1)=0+{(\tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1)}^{{}^{\prime }}x={\sec }^2(\frac{\pi }{4}+2x)2x \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}(\tan (\frac{\pi }{4}+2x)-1)\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}({\sec }^2(\frac{\pi }{4}+2x)2x)=4 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{\tan }^n(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})=e^4 \end{gathered}$$