幂函数的积分型函数

数学上，把形如 $f(x)={x^n}$ 的函数称为幂函数。幂函数的规律在博文[1]中已作说明。简单地说， $x>0$ 前提下，当 $n>1$ 时幂函数下凸递增， $n=1$ 时线性递增， $0<n<1$ 时上凸递增， $n=0$ 时为常值函数， $n<0$ 时递减，与坐标系的 $x$ 轴和 $y$ 轴的正方向无限接近。此外，幂函数必经过点 $(1,1)$ 。

幂函数 $x^n$ 的积分是 $\int x^ndx={x^{n+1}\over n+1}+C$ ，其中 $C$ 是常数项。本文研究函数 $\phi_n (x)={x^n\over n}+D$ 的性质。为了便于研究，我们希望无论 $n$ 取何值， $\phi_n(x)$ 都能经过一个固定的点，让各函数之间易于比较其单调性，增减速度。这里令 $\phi _n(1)=0$ ，则 $D=-{1\over n}$ 。因此，定义一种幂函数的积分型函数为 $\phi_n(x)={x^n-1\over n}$ 。这里只研究 $x>0$ 的情况。

函数图像及分析

当 $n\neq0$ 取不同值时， $\phi_n(x)$ 的图像如下

从图中可以看出，无论 $n$ 如何取值，幂函数的积分型函数在 $(0,+\infty)$ 上均单调递增，但增速不同。当然，由于该类函数是由幂函数积分而成，其导数作为幂函数，在 $x>0$ 时必 $>0$ ，所以单调递增。

增速

关于函数的增速，应当将其分为两部分：第一部分是 $x\in (0,1]$ ，第二部分是 $x\in[1,+\infty)$ 。从图中也看出， $n$ 越大，当 $x$ 接近 $0$ 时，其值越大，离 $0$ 越近，说明在 $x\in (0,1]$ 上的增速越低。这一点也符合幂函数在 $x\in (0,1]$ 上的值， $n>0$ 时 $n$ 越大越下凸，说明值越小； $n<0$ 时 $n$ 越小（绝对值越大），曲线越高。关于这一点，可以参考博文[2]的第一张关于幂函数图像的图。

上下限值

将函数图像进行放大和缩小，观察各函数在 $x$ 接近 $0$ 时的下限值，以及在 $x$ 趋于无穷时的上限值。

从该图看，紫线，粉线，红线，橘红色线，在 $x\rightarrow 0$ 处到了某点随即终止了。但另外四根线，都在向下无限延伸。说明当 $n<0$ 时，幂函数的积分函数在 $x\rightarrow 0$ 时会无限趋于 $-\infty$ ，无下限值；但 $n>0$ 时有下限值。

从该图看，淡绿线，绿线，深绿线，蓝线在 $x\rightarrow +\infty$ 时，并没有无限向上延伸，而是向某一个有限大的常数逼近。但另外四根线，都在向上无限延伸。说明当 $n>0$ 时，幂函数的积分函数在 $x\rightarrow +\infty$ 时会无限趋于 $+\infty$ ，无上限值；但 $n<0$ 时有上限值。

总之：

幂函数的积分函数上下限值
	$n<0$	$n>0$
下限值	无	有
上限值	有	无

其原因，求极限即可得出。

$\lim_{x\rightarrow 0}{x^n-1\over n}={\lim_{x\rightarrow 0}x^n-1\over n}$ 。当 $n>0$ 时 $\lim_{x\rightarrow 0}x^n=0$ ， $n<0$ 时 $\lim_{x\rightarrow 0}x^n=\infty$ 。 $x\rightarrow +\infty$ 时情况刚好相反。

极限情况

上一节提到了 $n>0$ 和 $n<0$ 时的上下限值的情况。那么，此类函数能否 $n=0$ ？如果能，那么这个函数性质应当在 $n>0$ 和 $n<0$ 之间。所以，是既有上限值又有下限值，还是即无上限值，又无下限值？

对于 $\phi_n(x)={x^n-1\over n}$ ，当 $n=0$ 时，分子和分母均为 $0$ ，属于 $0\over 0$ 的未定式。此时，应当用极限法求出表达式。

根据洛必达法则[3]：

$\lim_{n\rightarrow 0}{x^n-1\over n}=\lim_{n\rightarrow0}{x^n\ln x\over 1}=\ln x$

这也符合一个特殊幂函数的积分： $\int{1\over x}dx =\ln x + C$

显然，该函数既没有上限值，也没有下限值。

把这个特殊的幂函数的积分函数的图像加入：

显然，这个黄色的函数曲线刚好位于橘黄色和淡绿色的曲线之间，其函数性质也位于 $n>0$ 和 $n<0$ 之间。

那么，当 $n\rightarrow \infty$ 时，函数会如何？

还是用该式 $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}$

令 $n\rightarrow +\infty$ ，则当 $x\in(0,1)$ 时， $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=0*\ln x=0$ ；当 $x=1$ 时，则 $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=1^{+\infty}*0$ ，属于未定式；当 $x\in(1,+\infty)$ 时， $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=+\infty*+\infty=+\infty$ 。简单地说， $0\rightarrow {0*+\infty} \rightarrow +\infty$

令 $n\rightarrow -\infty$ ，则当 $x\in(0,1)$ 时， $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=+\infty*-\infty=-\infty$ ；当 $x=1$ 时，则 $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=1^{-\infty}*0$ ，属于未定式；当 $x\in(1,+\infty)$ 时， $\lim_{n\rightarrow\infty}{x^n\ln x}=0*\ln x=0$ 。简单地说， $-\infty\rightarrow {0*-\infty} \rightarrow 0$

总结

幂函数的积分函数可写为 $\phi_n(x)={x^n-1\over n}$ 。特别的，当 $n=0$ 时， $\phi_0(x)=\ln x$ 。 $n>0$ 时， $\phi_n(x)$ 无上限值，有下限值； $n<0$ 时， $\phi_n(x)$ 无下限值，有上限值； $n=0$ 时，无下限值，无上限值。