通过一个具体的例子，详细说明 w T μ 0 w^T \mu_0 wTμ0 和 w T μ 1 w^T \mu_1 wTμ1 如何表示两个类的中心点在投影方向 w w w 上的投影。
假设：
我们有两个类的数据集，均值向量 μ 0 \mu_0 μ0 和 μ 1 \mu_1 μ1，以及投影方向（权重向量） w w w 如下：
- 类 0 的均值向量 μ 0 = [ 2 3 ] \mu_0 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} μ0=[23]
- 类 1 的均值向量 μ 1 = [ 4 5 ] \mu_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} μ1=[45]
- 投影方向 w = [ 1 2 ] w = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} w=[12]
我们将分别计算类 0 和类 1 的中心点在投影方向 w w w 上的投影。
1. 计算类 0 的中心点在投影方向 w w w 上的投影 w T μ 0 w^T \mu_0 wTμ0：
w T μ 0 = [ 1 2 ] [ 2 3 ] w^T \mu_0 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} wTμ0=[12][23]
我们进行矩阵乘法：
w T μ 0 = 1 × 2 + 2 × 3 = 2 + 6 = 8 w^T \mu_0 = 1 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8 wTμ0=1×2+2×3=2+6=8
因此，类 0 的中心点在投影方向 w w w 上的投影为 8。
2. 计算类 1 的中心点在投影方向 w w w 上的投影 w T μ 1 w^T \mu_1 wTμ1：
w T μ 1 = [ 1 2 ] [ 4 5 ] w^T \mu_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} wTμ1=[12][45]
我们进行矩阵乘法：
w T μ 1 = 1 × 4 + 2 × 5 = 4 + 10 = 14 w^T \mu_1 = 1 \times 4 + 2 \times 5 = 4 + 10 = 14 wTμ1=1×4+2×5=4+10=14
因此，类 1 的中心点在投影方向 w w w 上的投影为 14。
解释：
- 类 0 的中心点在投影方向 w w w 上的投影结果是 8。
- 类 1 的中心点在投影方向 w w w 上的投影结果是 14。
这两个投影值表示类 0 和类 1 在方向 w w w 上的中心点位置。通过将每个类的均值向量投影到 w w w 上，我们得到了两个类的中心点在一维空间的表示。LDA 的目标就是通过选择最佳的投影方向 w w w，使得这两个投影值的差异最大化，即类间差距增大。
总结：
在这个例子中，类 0 的中心点在投影方向上的值为 8，类 1 的中心点在投影方向上的值为 14。这两个投影值可以用来衡量类之间的差距，LDA 的目标就是找到一个最优的 w w w，使得这两个值之间的差距最大化，同时最小化类内散度。
