3. 函数极限与连续函数

3.3 无穷小量与无穷大量的阶

3.3.3 应用等价量的关系求函数极限

【定理3.3.1】$u(x),v(x),w(x)$在$x_0$的某个去心邻域上有定义，且$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{v(x)}{w(x)}=1$，即$v(x)\sim w(x),(x\to x_0)$，则：
（1）$\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)w(x)=A\iff \underset{x\to x_0}{\lim }u(x)v(x)=A$；
（2）$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{w(x)}=A\iff \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=A$
【注】用等价量代替乘积或除的因子，只限乘和除，加减不行。
【常见的等价无穷小量如下（$x\to 0$），$x$可以换成$f(x)$进行广义的替换】
（1）$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1\sim \ln \left(1+\sqrt{1+x^2}\right)$；
（2）$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$；
（3）$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,1-{\cos }^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$；
（4）$a^x-1\sim x\ln a$；
（5）$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6},\arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6}$；
（6）$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3},x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}$；
（7）$x+\sin x\sim 2x$；
（8）$\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2},\arcsin x-\arctan x\sim \frac{x^3}{2}$；
（9）$\text{ 若 }x\to 0,\alpha (x)\to 0,\alpha (x)\beta (x)\to 0\text{ 则有 }(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}-1\sim \alpha (x)\beta (x)$


【例3.3.9】计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{(e^{2x}-1)\tan x}$
【解】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{(e^{2x}-1)\tan x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2x\cdot x}=\frac{1}{2}$


【例3.3.10】计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-e^{\frac{x}{3}}}{\ln (1+2x)}$.
【解】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-e^{\frac{x}{3}}}{\ln (1+2x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x}-1)+1-e^{\frac{x}{3}}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x}-1)-(e^{\frac{x}{3}}-1)}{2x}$
由于$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}\iff \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{2}+o(x)$
$e^{\frac{x}{3}}-1\sim \frac{x}{3}\iff e^{\frac{x}{3}}-1=\frac{x}{3}+o(x)$
所以$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x}-1)-(e^{\frac{x}{3}}-1)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{x}{2}+o(x))-(\frac{x}{3}+o(x))}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}x+o(x)}{2x}=\frac{1}{12}$
【注】$o(f(x))$代表函数类，里面的函数都是关于某一个函数的低价无穷小或低阶无穷大，函数类加减不改变原来的性质。$o$和$O$不表示函数，而是表示函数渐进性质的特征。所以$o(x)\pm o(x)=o(x)$，$o(x)$是$x$的高阶无穷小量，除上$2x,(x\to 0)$的极限是0.


【例3.3.11】计算$\underset{x\to \infty }{\lim }x(\sqrt[3]{x^3+x}-\sqrt[3]{x^3-x})$.
【解】$\underset{x\to \infty }{\lim }x(\sqrt[3]{x^3+x}-\sqrt[3]{x^3-x})=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^2}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}})=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(\sqrt[3]{(1+\frac{1}{x^2}}-1)-(\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}-1))=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(\frac{1}{3x^2}+o(\frac{1}{x^2})-(-\frac{1}{3x^2}+o(\frac{1}{x^2})))=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2}{3x^2}+x^{2}o(\frac{1}{x^2})=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2}{3x^2}+\frac{o(\frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x^2}}=\frac{2}{3}$


【例3.3.12】计算$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}$
【解】$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x^2}\ln (\cos x)}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x^2}\ln (1-1+\cos x)}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$


【例】计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$（不能直接在加减中用等价无穷小量，这样得到的结果0是错的，因为等价无穷小实际上是等于等价量+一个高阶无穷小，此处加的是$o(x)$，但是$o(x)$是比$x$的高阶无穷小，分母是$x^3$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+o(x)-x-o(x)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(x)}{x^3}=?$，只说了比$x$高阶，不知道和$x^3$的阶数的大小关系，所以直接在加减中运用是错误的）
【解】实际上用刚才我给的那些等价（就是麦克劳林展开式）可以直接计算
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}$


【例】计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x}-1)-\frac{x}{2}}{x^2}$.（直接加减中代换是错的）
【解】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{1+x}-1)-\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-(1+\frac{x}{2})}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x)-(1+\frac{x}{2}{)}^2}{x^2(\sqrt{1+x}+1+\frac{x}{2})}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+x-1-x-\frac{x^2}{4}}{2x^2}=-\frac{1}{8}$