专业学习｜《随机过程》学习笔记（二）（定义、分类及相关过程）

一、随机过程

随机过程是随机变量的延伸。

随机过程的数字特征通常用来描述其统计性质和行为。以下是一些重要的特征，包括四阶中心矩等：

均值（Mean）：
- 表示随机过程在某一时刻的平均值，反映了过程的中心位置。
方差（Variance）：
- 描述随机过程在均值附近的离散程度，反映了过程的波动性。
自协方差（Autocovariance）：
- 衡量随机过程在不同时间点之间的相关性，通常用 Cov(X(t),X(t+τ))Cov(X(t),X(t+τ)) 表示。
自相关（Autocorrelation）：
- 自协方差标准化后得到的值，反映随机过程的周期性和相似性。
偏度（Skewness）：
- 衡量分布的不对称性，正偏度表示右侧尾部较长，负偏度表示左侧尾部较长。
峰度（Kurtosis）：
- 衡量分布的尖锐程度，描述尾部的厚度。高峰度表明分布的尾部比正态分布更重。
四阶中心矩（Fourth Central Moment）：
- 表达随机变量与其均值差值的四次方的期望值，通常用来评估分布的尖锐度，公式为：
平稳性（Stationarity）：
如果随机过程的统计特性（如均值和方差）在时间上保持不变，则称其为平稳过程。
独立性（Independence）：
随机过程中的各个时刻是否独立，影响到自协方差的结构。

一阶矩（均值）：
- 表示随机过程的平均水平。
- 可以用来描述随机过程的中心位置。
二阶矩（方差）：
- 与一阶矩相关，通过二阶矩可以计算方差：( Var(X(t)) = E[X^2(t)] - (E[X(t)])^2 )。
- 描述随机过程的波动性或离散程度。
三阶矩（偏斜度）：
- 通过三阶矩的计算，可以得到偏斜度，该指标用于描述分布的偏斜程度。
- 在某些情况下，三阶矩可以通过以下关系得到： [ \text{偏斜度} = \frac{E[X^3(t)] - 3\mu E[X^2(t)] + 2\mu^3}{\sigma^3} ]
- 反映分布的对称性。
四阶矩（峰度）：
- 通过四阶矩的计算，可以得到峰度，该指标用于描述分布的尖峭程度。计算方式为： [ \text{峰度} = \frac{E[X^4(t)] - 4E[X(t)]E[X^3(t)] + 6(E[X(t)])^2E[X^2(t)] - 3(E[X(t)])^4}{\sigma^4} ]
- 反映分布在均值附近的集中程度，与极端值的出现频率有关。