数据转换器——佛朗哥Chater 1

【注：本文基于《数据转换器》一书进行学习、总结编撰，适合新手小白进行学习】

1.1 理想的数据转换器

1.2 采样

1.2.1 欠采样

1.2.2 采样时间的抖动（A/D转换的第一个精度限制）

1.3 幅度的量化

1.3.1 量化噪声（基本限制）

1.3.2 量化噪声的性质

1.4 KT/C噪声（基本限制）

例1.3

1.5 离散与快速傅里叶变换

1.5.1 加窗

例1.4

1.6 编码方案

1.7 D/A转换器

1.7.1 理想的重建

1.7.2 实际的重建

1.8 拉氏变换

1.1 理想的数据转换器

ADC表示为四个功能的级联：连续时间抗混叠滤波、采样、量化和数据编码。

连续时间滤波器为什么是必要的？采样和量化对信号会产生什么样的影响？在数字域表示信号的几种不同的编码方案？

DAC实现两个基本功能：一是码转换阶段，把数字输入转换成等价的模拟信号；另一个是对模拟信号的重建。

重建：去除采样数据模拟信号的高频成分。重建信号用两个步骤完成：采样与保持和紧跟着的一个低通重建滤波器。

1.2 采样

冲激采样

$x^*(t)=x^*(nt)=\sum x(t)\delta(t-nT)$

该式概述了采样操作中固有的非线性（注意，乘法是一种非线性操作）。因此，如图1.3所示，对信号进行采样相当于该信号与冲激序列的混频。

用混频器表示采样器，有助于理解欠采样模式下工作的数据转换器。

拉普拉斯变换：

该式对采样输出的拉普拉斯变换给出了两个有用的表达式：右手等式将用来讨论s平面与z平面之间的关系；另一个等式则表明，采样后信号的频谱是输入信号频谱进行无限复制后的叠加。这些复制的频谱的中心处在沿 f 轴移动采样频率倍数的地方，即位于nfs(=n/T)处，其中n=0,±1,±2，…。因此，采样后的频谱是周期性的，周期为fs。

奈奎斯特采样定理。

采样理论指出的是：一个带限信号x(t)（其傅里叶频谱x(jw)在角频率|w|>ws/2的地方为零）由均匀采样的(nT)序列完全描述，其中T=2Π/ws。该带限信号x(t)可通过下式重建

$x(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT)\frac{\sin(\omega_{\mathrm{S}}(t-nT)/2)}{\omega_{\mathrm{S}}(t-nT)/2}$

这是输入x(nT)与sin(wst)/(wst)的卷积，后者是频谱宽度为ws的一个脉冲的拉普拉斯逆变换。

采样频率的一半，fs/2=1/(2T)，通常称为奈奎斯特频率。频率间隔0～fs/2被称为奈奎斯特频带（或基带），而频率间隔, fs/2~fs ,fs~3fs/2，…,被称为第二、第三奈奎斯特区间,等等。由于在所有奈奎斯特区间的频谱都是相同的，所以只专注于0~fs/2的基带就足够了。当考虑双边谱时，频率范围变为-fs/2～fs/2。

噪声和干扰的频谱不可预知，可以在任何频率都有分量。因此有必要消除带外干扰，因为它折叠到带内的频谱会破坏信号频带——采样器前放置抗混叠滤波器。

过渡带是fB~(fs-fB)，阻带从(fs-fB)处开始的衰减要达到要求的 $A_{SB}$ 。

抗混叠滤波器要求：低的谐波失真，较大的输出摆幅和低噪声。

1.2.1 欠采样

欠采样利用折叠的方法，把频率分量高于奈奎斯特区间边界(fs/2)的信号折叠到信号的基带中。该技术通常用来把高频的频谱引入到基带。该方法也被称为谐波采样、基带采样、中频采样和中频到数字的转换。

图1.10用两个例子说明了这种方法。图1.10(a)中的信号频谱从fL扩展到fH，如果上限(fH)大于两倍的信号频带(fH-fL)，那么就可以使用这样的采样频率fs：使fs≥fH，而且 fs/2<fL。这样的采样把信号频谱限制在第二奈奎斯特区间。并且，由于混叠，输入信号频谱的整个副本频谱被放进了基带。图1.10(b)表明,基带中这个副本频谱是由负的输入信号频谱通过平移fs得到的。同时，正的输入信号频谱在平移 -fs 后产生负的镜像频谱。因此，基带变成为原信号频谱被镜像后的模式。

图1.10(c)显示了另一个可能的情况。输入信号频带和采样频率的关系使得第三奈奎斯特区间完全地包围住了输入信号的频谱。采样的操作会通过平移-fs使输入频谱的一个副本进入基带。负基带(-fs/2～0)中的镜像来自负的输人信号频谱，是通过移动fs得到的。图1.10(d)显示了采样后的结果。由于基带内的镜像频谱来自第三奈奎斯特区间，所得到的输入信号的复制频谱就不是由镜像得到的。

欠采样的抗混叠滤波器必须去掉除了包含信号带宽的奈奎斯特区间之外的、来自其他所有奈奎斯特区间的杂散。

1.2.2 采样时间的抖动（A/D转换的第一个精度限制）

抖动来源于两方面因素：
①时钟的不确定性 ②产生采样相位的逻辑与有效采样之间的延时在一定程度上是不可预测的

因此，采样的抖动对采样后得到的信号值的影响是通过误差体现的，这种误差同时取决于抖动和输入信号对时间的导数。

对于正弦波 $X_{\mathrm{in}}(T)=A\sin(\omega_{\mathrm{in}}t)$ ，误差 $\Delta X(nT)$ 由下式给出

$\Delta X(nT)=A\omega_\text{in}\delta(nT)\cos(\omega_\text{in}nT)$

它是一个离散量，等于 $\delta (nT)$ 乘以 $A\omega_\text{in}$ 倍，并且被频率为输入频率的余弦函数调制。

故随机抖动模型：随机抖动可以被认为是在理想采样之前附加到输入信号的一个白噪声源xij(t)。

抖动误差xij(t)的功率是

图1.12所示的是，要得到给定的 SNR、时钟抖动相对于所需的输入信号频率的关系。从图可见，对于大的信噪比和高的信号频率，时钟抖动必须在ps(皮秒)量级中的很小部分。例如，对100MHz的输入正弦波要实现SNR-90 dB，要求的时钟抖动为50 fs(飞秒)！

对一个20MHz的正弦波进行采样，72 dB的信噪比(SNR)，至少要求抖动小于2 ps(皮秒)。如果频率增大10倍，则时钟抖动必须减小10倍。如果系统要求SNR增加6dB，则时钟抖动的性能必须提高2倍。

图1.13绘制了信噪比的插图。信号的频率低于20 MHz时，信噪比大于80 dB，因为抖动噪声的贡献小(在非常低的频率下几乎为零)。在20 MHz频率下，预期的信噪比是80 dB。在较高频率下抖动噪声成为主要的噪声，在奈奎斯特频率下SNR损失3 dB。在第二奈奎斯特区间这种影响更加明显，SNR从77 dB下降到72.5 dB。假设1 dB的损失是可以接受的，可用的输入信号频带只有0.6倍的奈奎斯特频率间隔。

这种采样器对欠采样是不适用的:抖动噪声在第一奈奎斯特区间是可以接受的,但在其他奈奎斯特区间会变得太大。

1.3 幅度的量化

幅度量化把采样数据信号从连续电平转换成离散电平。量化器的动态范围被分为许多相等的量化间隔，其中的每一个间隔均用一个给定的模拟幅度来表示。量化器把输入信号的幅度改变成一个数值，该数值表示输入信号处在哪个量化间隔。通常，表示某个量化间隔的数值指的是该间隔的中点，在某些情况下，该间隔的上限或下限，也表示同一个间隔。

假设的 $X_{FS}=X_{max}-X_{min}$ 是量化器的量化范围，M是量化间隔的数目，则每个量化间隔的幅值或量化步长△为