二叉搜索树的使用及其详细解析

1.概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值 

 

2.性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O(logN)

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O(N/2)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷: 1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。 2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。 这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值 

 

3.基本框架与基础功能

3.1基本框架

二叉搜索树的基本结构就是一个根节点加上左右子结点，在插入数据保证其左节点比根节点小，右节点比根节点大，当等于根节点则不插入，也可以额外设置一个树使其可以插入，其中需要注意的是拷贝构造函数需要显式实现使其成为深拷贝，并且在拷贝时顺序是前序拷贝，析构时则是后序析构，如果要显示二叉树，则使用中序遍历，这样可以保证显示的顺序由小到大，递增实现，相当于排序

//创建二叉搜索树
template<class K>
struct BSTNode
{//根节点的左右节点以及存储数据的变量K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;//using Node = BSTNode<K>;
public://使用公有成员函数调用私有可以避免实例化调用时无法使用私有成员变量的问题void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}//后序析构void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->left);Destroy(root->right);delete root;}//析构函数无法传参，所以要独立创建一个函数析构~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}//前序遍历拷贝树Node* newRoot = new Node(root->_key);Copy(newRoot->left);Copy(newRoot->right);return newRoot;}//拷贝构造BSTree(const BSTree& T){_root = Copy(T._root);}//强制生成默认构造函数BSTree() = default;//赋值重载BSTree& operator=(BTNode tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}private://中序遍历//此时中序遍历就满足了递增排序void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

3.2插入

1.当给出需要插入的数值，此时首先判断原来的二叉树是否为空，为空则直接插入头结点

2.若不为空则首先将该数值向下传递，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点

3.这时新创建一个节点，判断与此时的父节点的大小，大于父节点则插入到父节点的右边，反之插入到左边，相等则不插入

4.如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (_root->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (_root->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;
}

3.2查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x

//查找
Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;
}

3.3删除(重点)

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除 

//删除
bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除//1.左为空if (cur->_left == nullptr){//当需要删除根节点//需要特殊处理if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的左节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的左节点else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.右为空else if (cur->_right == nullptr){//需要删除的是根节点if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的右节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的右节点else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//此时需要寻找一个替代节点来保证不违反搜索二叉树的规则//还可以保证删除时步骤冗余//即左子树的最右节点或者右子树的最左节点都可以//右子树的最左节点Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->_right;while (cur->_left){//寻找右子树的最左节点replaceParent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceParent->_left == replace){//replace的左节点一定为空，所以用他的父节点指向他的右节点replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

4.二叉搜索树的多种模型

4.1key模型

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊

场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示

//key模型
namespace key
{//创建二叉搜索树template<class K>struct BSTNode{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K>class BSTree{typedef BSTNode<K> Node;//using Node = BSTNode<K>;public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (_root->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (_root->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}//使用公有成员函数调用私有可以避免实例化调用时无法使用私有成员变量的问题void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}//查找bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}//删除bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除//1.左为空if (cur->_left == nullptr){//当需要删除根节点//需要特殊处理if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的左节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的左节点else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.右为空else if (cur->_right == nullptr){//需要删除的是根节点if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的右节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的右节点else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//此时需要寻找一个替代节点来保证不违反搜索二叉树的规则//还可以保证删除时步骤冗余//即左子树的最右节点或者右子树的最左节点都可以//右子树的最左节点Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->_right;while (cur->_left){//寻找右子树的最左节点replaceParent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceParent->_left == replace){//replace的左节点一定为空，所以用他的父节点指向他的右节点replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}private://中序遍历//此时中序遍历就满足了递增排序void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}

4.2key/value模型 

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数 

//key_value模型
namespace key_val
{//创建二叉搜索树template<class K, class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key, const V& value):_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;//using Node = BSTNode<K, V>;public://后序析构void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->left);Destroy(root->right);delete root;}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}//前序遍历拷贝树Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);Copy(newRoot->left);Copy(newRoot->right);return newRoot;}//拷贝构造BSTree(const BSTree& T){_root = Copy(T._root);}//强制生成默认构造函数BSTree() = default;//赋值重载BSTree& operator=(BTNode tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (_root->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (_root->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}//使用公有成员函数调用私有可以避免实例化调用时无法使用私有成员变量的问题void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}//查找Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}//删除bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除//1.左为空if (cur->_left == nullptr){//当需要删除根节点//需要特殊处理if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的左节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的左节点else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.右为空else if (cur->_right == nullptr){//需要删除的是根节点if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{//当前节点为父节点的左节点//则将父节点的左指针指向被删除节点的右节点if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}//当前节点为父节点的右节点//则将父节点的右指针指向被删除节点的右节点else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{//左右都不为空//此时需要寻找一个替代节点来保证不违反搜索二叉树的规则//还可以保证删除时步骤冗余//即左子树的最右节点或者右子树的最左节点都可以//右子树的最左节点Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->_right;while (cur->_left){//寻找右子树的最左节点replaceParent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceParent->_left == replace){//replace的左节点一定为空，所以用他的父节点指向他的右节点replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}private://中序遍历//此时中序遍历就满足了递增排序void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}

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