表达式求值(综合应用的难题)

一、各种表达式的含义与操作

请看下面链接里面的博客吧，这是一位大佬写的，里面的图很是不错，可以看看。

各种表达式的概念与操作

二、题目

给定一个表达式，其中运算符仅包含 +,-,*,/（加减乘整除），可能包含括号，请你求出表达式的最终值。

注意：

数据保证给定的表达式合法。
题目保证符号 - 只作为减号出现，不会作为负号出现，例如，-1+2,(2+2)*(-(1+1)+2) 之类表达式均不会出现。
题目保证表达式中所有数字均为正整数。
题目保证表达式在中间计算过程以及结果中，均不超过 $2^{31}-1$ 。
题目中的整除是指向 0取整，也就是说对于大于 0的结果向下取整，例如 5/3=1，对于小于 0的结果向上取整，例如 5/(1−4)=−1。
C++和Java中的整除默认是向零取整；Python中的整除//默认向下取整，因此Python的eval()函数中的整除也是向下取整，在本题中不能直接使用。

输入格式

共一行，为给定表达式。

输出格式

共一行，为表达式的结果。

数据范围

表达式的长度不超过 $10^{5}$ 。

输入样例：

(2+2)*(1+1)

输出样例：

/*这个题是中缀表达式的存储与计算，至于什么是中缀表达式，前缀表达式，后缀表达式，就看下面链接里面的
博客吧。
*/
#include<iostream>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>//要使用哈希表，就要加这个。using namespace std;stack<int> num;
stack<char> op;
//建立两个栈，一个是专门存数字字符的，一个是专门存储符号的。
void eval(){auto b=num.top();  num.pop();auto a=num.top();  num.pop();auto c=op.top();   op.pop();int x;if(c=='+')  x=a+b;if(c=='-')  x=a-b;if(c=='*')  x=a*b;if(c=='/')  x=a/b;/*这个eval()函数是执行的弹出栈并执行计算的操作，为什么要先b再a呢，这是因为栈的原因，先进后出的性质，导致了这样，至于具体是怎么样，可以看下面链接里面的那篇博客的图解，那是一位大佬分析的，很是不错的。*/num.push(x);/*每一步都能得到一个结果，将得到的结果压入num栈中。*/
}int main(){unordered_map<char,int> pr{{'+',1},{'-',1},{'*',2},{'/',2}};//用哈希表来定义各个运算符的优先级，这里要记得在开头调用有这个函数的开头。string str;cin>>str;for(int i=0;i<str.size();i++){auto c=str[i];//遍历这个字符串里面的每一个字符if(isdigit(c)){//注意这里的isdigit()，这个是判断一个字符是不是数字字符的一个函数吧。int x=0,j=i;while(j<str.size()&&isdigit(str[j]))x=x*10+str[j++]-'0';/*这里是容易疏忽的一点，虽然样例输入的都是一位数的运算，但很有可能还有多位数，所以这个x其实就是求连续的数字字符的大小，获得其值*/i=j-1;//这个i=j-1很是重要，对我来说的话，下面会有详细的解释的。num.push(x);//得到了连续数字字符的结果后就入栈num。}else if(c=='(')  op.push(c);//如果检测到了左括号直接入op栈就可以。else if(c==')'){while(op.top()!='(')  eval();/*如果检测到了是右括号的话，那右括号不用入栈，直接在现在的op栈里面操作，一直输出和计算，直到找到左括号为止，就停止操作了。*/op.pop();/*这个pop是操作到了左括号，表示左右括号之间的运算符已经全部操作完，这个时候直接将op栈里面的左括号弹出栈就行，因为这个时候已经没用了。*/}else{while(op.size()&&op.top()!='('&&pr[c]<=pr[op.top()])eval();/*这是另一种情况，当栈里面没有任何的括号时，就只是那几个操作符的话，那么就是判断优先级，只要这个op栈不为空且里面没有括号且此时c的符号优先级比之前的栈顶的符号优先级低的话，那么就会先把原来栈里面的运算符一直出栈并运算，直到找到比现在c这个字符优先级高的为止，加入说都是同级的，那么就是把栈里面所有的运算的字符全部都出栈并操作，栈空以后才将c这个字符运算符给插进去，就很完美了，至于这个为什么优先级这么想，具体的表现的话，我会在下面画一张图，看了应该就能理解。*/op.push(c);/*这个op的入栈就是最后我说的那个了，要么都是同级的运算符，栈空入栈；要么就是c的优先级本来就比原来栈顶的优先级高，直接入栈，这是这句代码的含义，要注意。*/}}while(op.size())  eval();/*如果说因为各种各样的操作以后，op符号栈里面还有运算符，那就把他们全部都弹出并计算，直至栈空。*/cout<<num.top()<<endl;/*最后各种各样的操作完成后，最后得到的num栈里面就只有一个元素了，也就是那个最后的结果，所以直接输出num.top()就行。*/return 0;
}

代码详细解释

1. 引入头文件

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <unordered_map>

#include <iostream>: 引入输入输出流库，用于标准输入输出。
#include <cstring>: 引入C风格字符串处理库，这里其实不需要用到。
#include <algorithm>: 引入算法库，这里也没有使用。
#include <stack>: 引入栈的实现库。
#include <unordered_map>: 引入无序映射（哈希表）库，用于存储操作符优先级。

2. 定义栈

stack<int> num;
stack<char> op;

stack<int> num;: 整数栈，用于存储操作数。
stack<char> op;: 字符栈，用于存储操作符和括号。

3. `eval` 函数

void eval()
{auto b = num.top(); num.pop();auto a = num.top(); num.pop();auto c = op.top(); op.pop();int x;if (c == '+') x = a + b;else if (c == '-') x = a - b;else if (c == '*') x = a * b;else x = a / b;num.push(x);
}

auto b = num.top(); num.pop();: 从 num 栈中取出顶层元素（右操作数）并移除它。
auto a = num.top(); num.pop();: 从 num 栈中取出顶层元素（左操作数）并移除它。
auto c = op.top(); op.pop();: 从 op 栈中取出顶层操作符并移除它。
int x;: 定义一个变量 x 用于存储计算结果。
if (c == '+') x = a + b;: 根据操作符 c 执行相应的计算，并将结果存入 x。
num.push(x);: 将计算结果 x 压入 num 栈中。

4. `main` 函数

int main()
{unordered_map<char, int> pr{{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}};string str;cin >> str;for (int i = 0; i < str.size(); i ++ ){auto c = str[i];if (isdigit(c)){int x = 0, j = i;while (j < str.size() && isdigit(str[j]))x = x * 10 + str[j ++ ] - '0';i = j - 1;num.push(x);}else if (c == '(') op.push(c);else if (c == ')'){while (op.top() != '(') eval();op.pop();}else{while (op.size() && op.top() != '(' && pr[op.top()] >= pr[c]) eval();op.push(c);}}while (op.size()) eval();cout << num.top() << endl;return 0;
}

unordered_map<char, int> pr{{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}};: 创建一个哈希表 pr 用于存储操作符的优先级，* 和 / 的优先级高于 + 和 -。
string str; cin >> str;: 从标准输入读取一个字符串 str。
for (int i = 0; i < str.size(); i++ ): 遍历字符串中的每个字符。
- auto c = str[i];: 获取当前字符。
- if (isdigit(c)): 如果当前字符是数字：
  - int x = 0, j = i;: 定义一个变量 x 用于构建完整的数字，并初始化 j 为当前索引。
  - while (j < str.size() && isdigit(str[j])): 读取完整的数字，直到字符不是数字为止。
  - x = x * 10 + str[j++] - '0';: 逐步构建数字。
  - i = j - 1;: 更新 i 以跳过已读取的数字部分。
  - num.push(x);: 将读取到的数字压入 num 栈中。
- else if (c == '(') op.push(c);: 如果当前字符是左括号，将其压入 op 栈。
- else if (c == ')'): 如果当前字符是右括号：
  - while (op.top() != '(') eval();: 不断执行 eval 直到遇到左括号。
  - op.pop();: 弹出左括号。
- else: 如果当前字符是操作符：
  - while (op.size() && op.top() != '(' && pr[op.top()] >= pr[c]) eval();: 根据操作符优先级执行 eval，直到栈顶的操作符优先级低于当前操作符。
  - op.push(c);: 将当前操作符压入 op 栈中。
while (op.size()) eval();: 执行所有剩余的操作。
cout << num.top() << endl;: 输出结果。

实际例子

假设输入字符串是 "3+(2*2)"：

初始状态:
- num: 空
- op: 空
读取 '3':
- num: 3
- op: 空
读取 '+':
- num: 3
- op: +
读取 '(':
- num: 3
- op: + (
读取 '2':
- num: 3 2
- op: + (
读取 '*':
- num: 3 2
- op: + ( *
读取 '2':
- num: 3 2 2
- op: + ( *
读取 ')':
- 计算 2 * 2：
  - num: 3 4
  - op: +
- 计算 3 + 4：
  - num: 7
  - op: 空

最终输出 7。

三、对于里面i=j-1的理解

代码中的 `i = j - 1`

代码的关键部分如下：

for (int i = 0; i < str.size(); i++) {if (isdigit(str[i])) {int x = 0, j = i;while (j < str.size() && isdigit(str[j])) {x = x * 10 + str[j++] - '0';}// 跳过已经处理过的数字部分i = j - 1;}// 处理其他字符，如 '+', '*', '(', ')'
}

在这个代码中，i = j - 1 的作用是更新 i 的值，以便在下一次 for 循环时，从处理完数字后的下一个位置继续进行。

去掉 `i = j - 1` 的影响

如果去掉 i = j - 1，i 的值不会被更新到数字解析后的下一个位置。这可能导致一些问题：

重复处理：
- 当 for 循环进入到 i 的位置时，它会重新开始处理已经解析过的部分。这意味着原本已经被处理的部分（比如 "37"）会被重复处理，因为 i 的值没有被更新。
无限循环问题：
- 如果 i 从未更新，for 循环会一直从原始位置开始，例如位置 0。因此，如果 i 从未跳过已处理的部分，循环会不断重新处理这些部分，从而导致无限循环。

去掉i=j-1后的代码

for (int i = 0; i < str.size(); i++) {if (isdigit(str[i])) {int x = 0, j = i;while (j < str.size() && isdigit(str[j])) {x = x * 10 + str[j++] - '0';}// 此处如果没有 i = j - 1，i 将保持原来的位置}// 处理其他字符，如 '+', '*', '(', ')'
}

假设我们解析了 "37" 并且 j 在此时是 2，如果我们没有 i = j - 1，那么 i 会继续增加而没有跳过已处理的部分：

当前 i 的值：
- i 仍然是循环的当前值，比如 0 或 1。
下一次迭代：
- 在下一次 for 循环中，i 可能会从未处理的部分开始（如 2），但由于未更新 i，循环可能会再次处理已经解析的部分。

缺少i=j-1后的代码示例分析

假设你的字符串是 "37+8*(9-4)"，且初始 i 为 0：

当 i 为 0 时，我们解析了 "37" 并更新 j 到 2，此时没有 i = j - 1，i 继续从 0 开始。
因此，for 循环将再次处理 0 位置的字符 '3' 和 '7'，从而重复解析这些字符。

总结来说，i = j - 1 是用来跳过已经处理过的部分，确保 for 循环从未处理的部分开始。如果没有更新 i，for 循环会重复处理相同的部分，可能导致无限循环或错误的结果。

这里要注意一点，就是在判断连续的数字字符后，遍历到了运算符字符后，for循环里面的循环体，从内到外也就是while，if等语句都会退出，这个时候虽然不满足循环条件了，要退出当前的for循环，那么for循环最后的那个i++也是要执行的，只不过后面不会再有机会i++了而已，除非又遇到了连续数字字符，详细点来说就是以下的描述：

i++ 在 for 循环中确实总是会执行，但如何执行以及最终的效果会受到循环体内其他逻辑的影响。

详细分析

在 for 循环的结构中：

for (initialization; condition; increment) {// loop body
}

初始化: initialization 只在第一次迭代之前执行一次。
条件: 在每次迭代之前评估，如果条件为 true，则执行循环体。
增量: 每次循环体执行完后，increment（如 i++）都会被执行。

`i++` 的执行

即使在循环体内你做了其他操作，i++ 这个增量操作在每次循环结束时都会执行。例如：

for (int i = 0; i < str.size(); i++) {auto c = str[i];if (isdigit(c)) {int x = 0, j = i;while (j < str.size() && isdigit(str[j]))x = x * 10 + str[j++] - '0';num.push(x);i = j - 1; // 更新 i，以跳过已处理的数字}// 其他逻辑
}

在这个例子中：

如果有 i = j - 1: 这行代码更新 i 的值，使得在下一次循环开始时 i 跳过了已经处理过的数字。因此，i++ 实际上在这里会使 i 增加到 j，但是由于 i 被设置为 j - 1，下一次循环开始时 i 从 j - 1 开始执行，所以 i++ 使得 i 正确地推进到下一个未处理的字符位置。
如果没有 i = j - 1: 在这种情况下，i 会在数字处理完后被默认递增。这样，如果你在处理数字后没有更新 i，下一个迭代会从上一个字符开始，这样可能会导致错误的重复处理。此时，i++ 会将 i 增加到下一个位置，但由于没有正确跳过已处理的数字，可能会导致重复遍历。