2003 TOG

2003年，Fleishman等人在TOG上，基于图像双边滤波的思想，将其改造成了可以用在曲面上的双边滤波算法。

• Fleishman S, Drori I, Cohen-Or D. Bilateral mesh denoising[M]//ACM SIGGRAPH 2003 Papers. 2003: 950-953.
• doi.org: 10.1145/882262.88236

基本思想

设$M,S$分别是输入曲面和去噪后的曲面，$\mathbf{v}\in M$是输入曲面的顶点，$\mathbf{n}$为其法向量。$d_0$是$\mathbf{v}$到曲面$S$的符号距离，${\mathbf{n}}_0$是$S$中距离$\mathbf{v}$最近的点的向量。由于$S$是未知的，所以$d_0,{\mathbf{n}}_0$都是未知的，所以用$d$表示$\mathbf{v}$和$S$之间的误差，从而$\mathbf{v}$的位置可以被更新为

$$\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}+d\cdot \mathbf{n}$$

对于图像$I(\mathbf{u})$而言，在坐标点$\mathbf{u}=(x,y)$处，其双边滤波可定义为

$$\hat{I}(\mathbf{u})=\frac{{\sum }_{\mathbf{p}\in N(\mathbf{u})}{W}_c(\Vert \mathbf{p}-\mathbf{u}\Vert )W_s(|I(\mathbf{u})-I(\mathbf{p})|)I(\mathbf{p})}{{\sum }_{\mathbf{p}\in N(\mathbf{u})}{W}_c(\Vert \mathbf{p}-\mathbf{u}\Vert )W_s(|I(\mathbf{u})-I(\mathbf{p})|)}$$

其中$N(\mathbf{u})$是$\mathbf{u}$的邻域，$W_c,W_s$分别是以${\sigma }_c,{\sigma }_s$为参数的高斯函数。只需更改邻域$N(\mathbf{v})$的定义，这个过程就可以被应用于曲面滤波。在本文中，$N(\mathbf{v})$被定义为点集 { q i } \{\mathbf q_i\} {qi​}，满足$\Vert \mathbf{u}-\mathbf{p}\Vert <|2{\sigma }_c|$。

结合曲面滤波的目的，该公式可重新写作

$$d=\frac{{\sum }_{\mathbf{p}\in N(\mathbf{u})}{W}_c(\Vert \mathbf{p}-\mathbf{u}\Vert )W_s(⟨\mathbf{n},\mathbf{p}-\mathbf{u}⟩)⟨\mathbf{n},\mathbf{p}-\mathbf{u}⟩}{{\sum }_{\mathbf{p}\in N(\mathbf{u})}{W}_c(\Vert \mathbf{p}-\mathbf{u}\Vert )W_s(⟨\mathbf{n},\mathbf{p}-\mathbf{u}⟩)}$$

其中，$⟨,⟩$表示内积。

效果

其对Fandisk模型的滤波结果如下，左侧为原始曲面，最右侧为Fleishman等人的滤波结果。