2-1 位置、位移和平均速度

位置与位移

为了确定物体的位置，通常需要相对于某个参考点来测量，这个参考点通常是某个坐标轴的原点（或零点），如图 2-1 中的 x 轴。坐标轴的正方向是坐标增大的方向，在图 2-1 中，正方向指向右方。相反的方向则为负方向。

例如，一个粒子可能位于 $x=5$ 米处，这意味着它在原点的正方向上距离原点 5 米。如果它位于 $x=-5$ 米处，则它在原点的相反方向上距离原点也是 $5$ 米。在坐标轴上，$-5$ 米的坐标比 $-1$ 米的坐标小，且这两个坐标都比 $+5$ 米的坐标小。对于正数的坐标，正号可以不写，但负数的坐标必须写上负号。

物体从位置 $x_1$ 变为位置 $x_2$ 的变化称为位移，表示为 Δx，其中：

2-1
$$\Delta x=x_2-x_1。$$

该符号 Δ（希腊大写字母 delta）表示数量的变化，意味着该数量的最终值减去初始值。当把数值代入公式中（如位置值 $x_1$ 和 $x_2$ 在方程 2-1 中），向右的位移（如图 2-1 所示）总是为正，向相反方向（图中为左）的位移总是为负。例如，如果粒子从 $x_1=5\text{m}$ 移动到 $x_2=12\text{m}$，则位移为 $\Delta x=(12\text{m})-(5\text{m})=+7\text{m}$。正值表明运动方向为正方向。相反，如果粒子从 $x_1=5\text{m}$ 移动到 $x_2=1\text{m}$，则 $\Delta x=(1\text{m})-(5\text{m})=-4\text{m}$。负值表明运动方向为负方向。

实际的行驶距离并不重要，位移只涉及初始和最终位置。例如，如果粒子从 $x=5\text{m}$ 移动到 $x=200\text{m}$，然后再回到 $x=5\text{m}$，则从开始到结束的位移为 $\Omega \Delta x=(5\text{m})-(5\text{m})=0$。

符号：位移的正号可以不显示，但负号必须显示。如果忽略符号（即方向）只考虑位移的大小，那么我们得到的是位移的大小（或绝对值）。例如，位移为 $\Delta x=-4\text{m}$，其大小为 $4\text{m}$。​

例1 以下是 x 轴上初始位置和最终位置的三对数值，分别为：(a) -3 m，+5 m；(b) -3 m，-7 m；(c) 7 m，-3 m。哪一对数值会产生负位移？

解

(a) 初始位置 -3 m，最终位置 +5 m：

$\Delta x=5\text{m}-(-3\text{m})=5\text{m}+3\text{m}=+8\text{m}$

(b) 初始位置 -3 m，最终位置 -7 m：

$\Delta x=-7\text{m}-(-3\text{m})=-7\text{m}+3\text{m}=-4\text{m}$

(c) 初始位置 7 m，最终位置 -3 m：

\Delta x = -3 , \text{m} - 7 , \text{m} = -10 , \text{m}

结果为负，因此这是负位移。

结论：产生负位移的数值对是 (b) 和 ©。

平均速度和平均速率

描述位置的简洁方法是使用位置 $x$ 随时间 $t$ 变化的图——即 $x(t)$ 的图。（符号 $x(t)$ 表示 $x$ 关于 $t$ 的函数，而不是 $x$ 乘以 $t$）。作为一个简单的例子，图 2-2 显示了一个静止的犰狳（我们将其视为粒子）在 7 秒时间间隔内的位置函数 $x(t)$。动物的位置保持在 $x=-2\text{m}$。

图 2-3 更有趣，因为它涉及运动。犰狳在 $t=0$ 时首先被观察到，当时它的位置在 $x=-5\text{m}$。它向 $x=0$ 运动，在 $t=3\text{s}$ 时经过该点，然后继续向 $x$ 的正方向运动，位置越来越大。图 2-3 还描绘了犰狳的直线运动（在三个不同的时间点），这与实际观察到的情况类似。图 2-3 的图形更加抽象，但它揭示了犰狳运动的快慢。

实际上，有几个与“多快”相关的量。其中一个是平均速度 $v_{\text{avg}}$，它是指在特定时间间隔 $\Delta t$ 内位移 $\Delta x$ 与该时间间隔的比值：

2-2
$$v_{\text{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}。$$

符号表示位置在时刻 $t_1$ 是 $x_1$，然后在时刻 $t_2$ 是 $x_2$。平均速度 $v_{\text{avg}}$ 的常用单位是米每秒（m/s）。你可能会在问题中看到其他单位，但它们总是以长度/时间的形式出现。

图形：在 $x$ 对 $t$ 的图中，$v_{\text{avg}}$ 是连接 $x(t)$ 曲线上两个特定点的直线斜率：一个点对应 $x_2$ 和 $t_2$，另一个点对应 $x_1$ 和 $t_1$。与位移一样，$v_{\text{avg}}$ 具有大小和方向（它是另一个矢量量）。其大小是直线斜率的大小。正的 $v_{\text{avg}}$（以及斜率）告诉我们该直线向右上倾斜；负的 $v_{\text{avg}}$（以及斜率）告诉我们该直线向右下倾斜。平均速度 $v_{\text{avg}}$ 始终具有与位移 $\Delta x$ 相同的符号，因为方程 2-2 中的 $\Delta t$ 始终为正。

图 2-4 显示了如何在图 2-3 中找到时间间隔 $t=1\text{s}$ 到 $t=4\text{s}$ 的 $v_{\text{avg}}$。我们画出一条连接间隔开始时位置曲线上的点和间隔结束时曲线上的点的直线。然后我们找到该直线的斜率 $\Delta x/\Delta t$。对于给定的时间间隔，平均速度为
$$v_{\text{avg}}=\frac{6\text{m}}{3\text{s}}=2\text{m/s}。$$

平均速率 $s_{\text{avg}}$ 是描述粒子“移动多快”的另一种方式。与平均速度涉及粒子的位移 $\Delta x$ 不同，平均速率涉及粒子覆盖的总距离（例如移动的米数），与方向无关，即：

2-3
$$s_{\text{avg}}=\frac{\text{total distance}}{\Delta t}$$

由于平均速率不包含方向，因此它没有任何代数符号。有时 $s_{\text{avg}}$ 与 $v_{\text{avg}}$ 相同（除了符号的差异），但两者之间也可能有很大不同。

2-2 瞬时速度和速率

瞬时速度和速率

你现在已经看到了两种描述物体运动速度的方法：平均速度和瞬时速度，它们都是在时间间隔Δt上进行测量的。然而，术语“速度有多快”通常更常用来指物体在某一瞬间的速度——即瞬时速度（或简称为速度v）。

瞬时速度是通过将时间间隔Δt缩小，直到它接近0时，从平均速度中获得的。随着Δt变小，平均速度接近一个极限值，这就是该瞬间的速度：

2-4
$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$$

注意，v是位置x随时间t变化的速度，也就是说，v是x对t的导数。同样，注意在任何瞬间，v都是位置—时间曲线在该瞬间的斜率。速度是一个矢量量，具有大小和方向。

速度是速率的大小；也就是说，速度是去掉方向信息的速率，不管是通过文字描述还是通过代数符号来表示（注意：速度和平均速度可能非常不同）。+5 m/s的速度和−5 m/s的速度都具有5 m/s的速率。汽车的速度计测量的是速度，而不是速率（它无法确定方向）。

例1 下列方程给出了四种情况下粒子的位置 $x(t)$（在每个方程中，$x$ 的单位是米，$t$ 的单位是秒，并且 $t>0$）：

1. $x=3t-2$
2. $x=-4t^2-2$
3. $x=2t^2$
4. $x=-2$

问题：
(a) 在哪个情况下，粒子的速度 (v) 是常数？
(b) 在哪个情况下，速度 (v) 在负的 (x) 方向？

解 首先，速度 $v(t)$ 是位置 $x(t)$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v=\frac{dx}{dt}$。

1. $x=3t-2$
   速度 $v=\frac{d}{dt}(3t-2)=3$。
   常数速度，速度 $v=3$，是正值。

2. $x=-4t^2-2$
   速度 $v=\frac{d}{dt}(-4t^2-2)=-8t$。
   $v$ 随 $t$ 变化，且当 $t>0$ 时，$v$ 为负值（负 $x$ 方向）。

3. $x=2t^2$
   速度 $v=\frac{d}{dt}(2t^2)=4t$。
   $v$ 随 $t$ 变化，且当 $t>0$ 时，$v$ 为正值。

4. $x=-2$
   速度 $v=\frac{d}{dt}(-2)=0$。
   速度为零，即粒子不动。

2-3 加速度

加速度

当粒子的速度发生变化时，粒子就会经历加速度（或者说在加速）。对于沿轴的运动，在时间间隔Δt内的平均加速度 $a_{\text{avg}}$ 是：

2-7
$$a_{\text{avg}}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

其中，粒子在时间 $t_1$ 时的速度为 $v_1$，在时间 $t_2$ 时的速度 为 $v_2$。瞬时加速度（或简称为加速度）是：

2-8
$$a=\frac{dv}{dt}$$

换句话说，粒子在任何瞬间的加速度是其速度在该瞬间的变化率。在图形上，加速度是速度-时间曲线在该点的斜率。我们可以将等式2-8与等式2-4结合，写成：

2-9
$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$

换句话说，粒子在任何瞬间的加速度是位置 $x(t)$ 对时间的二阶导数。

常见的加速度单位是米每秒每秒（m/s²）。其他单位可以表示为长度/（时间²）。加速度有大小和方向（它是另一个矢量量）。其代数符号表示其在轴上的方向，正值表示加速度沿着正方向，负值表示加速度沿着负方向。

符号 在日常语言中，加速度的符号具有非科学意义：正加速度意味着物体的速度在增加，负加速度意味着物体的速度在减少（即物体在减速）。然而，在本书中，加速度的符号表示的是方向，而不是物体速度是否在增加或减少。

例如，如果一辆初速度为 $v=-25\text{m/s}$ 的汽车在5秒内停下来，则其平均加速度 $a_{\text{avg}}=+5.0{\text{m/s}}^2$。加速度是正的，但汽车的速度减少了。原因在于符号的不同：加速度的方向与速度的方向相反。

正确解读符号的方式

• 如果粒子的速度和加速度的符号相同，则粒子的速度增加。
• 如果符号相反，则粒子的速度减少。

翻译：

一只袋熊沿着x轴移动。如果它在以下情况下运动，加速度的符号是什么？

(a) 以增加的速度向正方向运动，
(b) 以减少的速度向正方向运动，
© 以增加的速度向负方向运动，
(d) 以减少的速度向负方向运动？

---

解答：

• (a) 向正方向且速度增加：加速度为正。
• (b) 向正方向且速度减少：加速度为负。
• © 向负方向且速度增加：加速度为负。
• (d) 向负方向且速度减少：加速度为正。

这基于加速度的符号取决于速度变化的方向。如果加速度和速度的方向相同，速度增加；如果方向相反，速度减少。

2-4 恒定加速度

恒定加速度：一种特殊情况

在许多运动类型中，加速度是恒定的或近似恒定的。例如，当交通灯由红灯转为绿灯时，汽车可能会以近似恒定的速率加速。此时，你的位置、速度和加速度的图像会类似于图2-9中的那些。（注意，图2-9c中的 $a(t)$ 是恒定的，这要求图2-9b中的 $v(t)$ 具有恒定的斜率。）稍后，当你刹车使汽车停止时，加速度（或者在日常用语中称为减速度）也可能是近似恒定的。

这种情况非常常见，以至于为处理这种情况而衍生出了一组特殊的方程。本节给出了推导这些方程的一种方法。另一种方法将在下一节给出。在这两节中，以及稍后在做作业问题时，请记住这些方程仅在加速度恒定时有效（或在可以近似为加速度恒定的情况下有效）。

第一个基本方程：当加速度恒定时，平均加速度与瞬时加速度相等，我们可以使用不同的符号写出方程2-7为：

$$a=a_{\text{avg}}=\frac{v-v_0}{t-0}$$

其中，$v_0$ 是时刻 $t=0$ 时的速度，$v$是任意稍后时间 $t$ 时的速度。我们可以将该方程重新表示为：

2-11
$$v=v_0+at$$

作为检查，注意当 $t=0$ 时，该方程简化为 $v=v_0$，这是理所应当的。进一步的检查可以通过对方程 $2-11$ 取导数进行，导数为 $\frac{dv}{dt}=a$，这正是加速度 $a$ 的定义。图 2-9b 展示了方程 2-11 的图像，$v(t)$ 是一个线性函数，因此图像是一条直线。

第二个基本方程：类似地，我们可以通过一些符号的更改，将方程 2-2 重写为：

$$v_{\text{avg}}=\frac{x-x_0}{t-0}$$

接着可以写为：

$$x=x_0+v_{\text{avg}}t$$

其中 $x_0$ 是粒子在 $t=0$ 时的位置，$v_{\text{avg}}$ 是 $t=0$ 到后续时间 $t$ 之间的平均速度。

对于方程 2-11 中的线性速度函数，任意时间间隔（例如从 $t=0$ 到稍后时间 $t$）内的平均速度是该间隔开始时的速度（即 $v_0$）与该间隔结束时的速度（即 $v$）的平均值。对于从 $t=0$ 到稍后时间 $t$ 的时间间隔，平均速度为：

$$v_{\text{avg}}=\frac{1}{2}(v_0+v)$$

将方程 2-11 中的 $v$ 代入，经过一些重新排列后，我们得到：

$$v_{\text{avg}}=v_0+\frac{1}{2}at$$

最终，将方程 2-14 代入方程 2-12 中，得到：

2-15
$$x-x_0=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

作为检查，注意当 $t=0$ 时，该方程简化为 $x=x_0$，这也是理所当然的。进一步检查，取方程 2-15 的导数，得到方程 2-11，这也是理所应当的。图 2-9a 展示了方程 2-15 的图像，该函数是二次方程，因此图像是曲线。

三个其他方程：方程 2-11 和 2-15 是描述恒加速度运动的基本方程，可以用于解决任何恒加速度问题。然而，我们还可以推导出其他一些方程，它们在某些特定情况下可能会更有用。首先注意，恒加速度问题中可能涉及五个变量，分别是：$x-x_0$、$v$、$t$、$a$、$v_0$。通常，这五个变量中有一个不会出现在问题中，无论是作为已知量还是未知量。这样我们就会面对剩下的三个变量，并要求求解第四个变量。

方程 2-11 和 2-15 都包含了这五个变量中的四个，但没有包含相同的四个。在方程 2-11 中，缺少的变量是位移 $x-x_0$，而在方程 2-15 中，缺少的是速度 $v$。这两个方程可以组合起来，以产生另外三个方程，每个方程中缺少一个不同的变量。

首先，我们可以通过消去时间 $t$，得到：

2-16
$$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$$

这个方程在我们不知道 $t$ 且不需要求解 $t$ 时非常有用。其次，我们可以消去加速度 $a$，将方程 2-11 和 2-15 结合起来，得到一个不含 $a$ 的方程：

2-17
$$x-x_0=\frac{1}{2}(v_0+v)t$$

最后，我们可以消去初速度 $v_0$，得到：

$$x-x_0=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$$

注意这个方程和方程 2-15 的微妙差异。一个方程涉及初速度 $v_0$，另一个则涉及任意时刻的速度 $v$。

表 2-1 列出了恒加速度的基本方程（如方程 2-11 和 2-15），以及我们推导出的这些特殊方程。要解决恒加速度问题，通常你可以从这些方程中选取一个，确保只有一个未知变量是问题中要求的。更简单的做法是记住方程 2-11 和 2-15，并在需要时将它们作为联立方程来解决。

例1 以下方程给出了粒子在四种情况下的位置 $x(t)$：

1. ( x = 3t - 4 )
2. ( x = -5t^3 + 4t^2 + 6 )
3. ( x = \frac{2}{t^2} - \frac{4}{t} )
4. ( x = 5t^2 - 3 )

表 2-1 的方程适用于上述哪种情况？

解 要判断哪些情况符合这些方程，需要分析每个方程是否描述了恒加速度运动：

1. $x=3t-4$ : 这是线性方程，说明速度是常数，不涉及加速度，因此符合恒定速度运动，不符合恒加速度运动方程。
2. $x=-5t^3+4t^2+6$ : 这是三次和二次项的组合，表示加速度不是恒定的，因此不符合恒加速度运动。
3. $x=\frac{2}{t^2}-\frac{4}{t}$ : 这是倒数形式的函数，明显不符合恒加速度运动的标准方程。
4. $x=5t^2-3$ : 这是二次方程，符合恒加速度运动的标准方程形式 $x=\frac{1}{2}a{t}^2$ ，因此符合恒加速度运动。

因此，只有情况（4）符合恒加速度运动的方程。

再看恒定加速度*

表2-1中的前两个方程是恒定加速度情况下导出的基本方程。这两个方程可以通过对加速度进行积分得到，前提是加速度 $a$ 是常数。为了推导方程2-11，我们将加速度的定义（方程2-8）重写为：

$$\frac{dv}{dt}=a$$

接下来，我们对两边进行不定积分（或称反导数）：

$$\int dv=\int adt$$

由于加速度 $a$ 是常数，可以将其提到积分符号外。我们得到：

$$\int dv=a\int dt$$

或：

2-25
$$v=at+C$$

为了计算积分常数 $C$，我们令 $t=0$，此时 $v=v_0$。将这些值代入方程2-25（它对所有时间 $t$ 都成立，包括 $t=0$）得到：

$$v_0=(a)(0)+C=C$$

将 $C=v_0$ 代入方程2-25，我们得到方程2-11。

为了推导方程2-15，我们将速度的定义（方程2-4）重写为：

$$\frac{dx}{dt}=v$$

然后对两边进行不定积分，得到：

$$\int dx=\int vdt$$

接下来，我们将方程2-11中的速度 (v = v_0 + at) 代入上述积分中：

$$\int dx=\int (v_0+at)dt$$

由于 $v_0$ 和 $a$ 是常数，可以写成：

$$\int dx=v_0\int dt+a\int tdt$$

积分得到：

2-26
$$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2+C^{\prime }$$

其中，$C^{\prime }$ 是另一个积分常数。当 $t=0$ 时，$x=x_0$。将这些值代入方程2-26得到 $x_0=C^{\prime }$。将 $C^{\prime }=x_0$ 代入方程2-26，我们最终得到方程2-15。

2-5 自由落体加速度

自由落体加速度

如果你将一个物体向上或向下抛出，并且能够以某种方式消除空气对其飞行的影响，你会发现物体以一定的恒定速率向下加速。这个速率被称为自由落体加速度，其大小用 $g$ 表示。这个加速度与物体的特性（如质量、密度或形状）无关，所有物体的加速度都是相同的。

图 2-12 中展示了两个自由落体加速度的例子，这是由羽毛和苹果的频闪照片系列组成的。当这些物体下落时，它们都以相同的 $g$ 加速。因此，它们的速度以相同的速率增加，并一起下落。

$g$ 的数值随着纬度和海拔略有变化。在地球中纬度的海平面上，$g$ 的数值为 $9.8{\text{m/s}}^2$（或 $32{\text{ft/s}}^2$），除非另有说明，否则你可以将其作为书中问题的精确数值。

表 2-1 中用于恒定加速度的运动方程也适用于靠近地球表面的自由落体；也就是说，当可以忽略空气影响时，这些方程适用于物体在垂直飞行中的向上或向下运动。但是，注意对于自由落体：
（1）现在的运动方向沿垂直的 $y$ 轴，而不是 x 轴，$y$ 轴正方向向上。（这在后面的章节中结合水平和垂直运动时是很重要的。）
（2）自由落体加速度为负，也就是说，在 $y$ 轴上加速度的方向向下，朝向地球的中心——因此在方程中具有数值为 $-g$ 的加速度。

地球表面附近的自由落体加速度为 $a=-g=-9.8{\text{m/s}}^2$，加速度的大小为 $g=9.8{\text{m/s}}^2$。不要将 $-9.8{\text{m/s}}^2$ 代替 $g$。

假设你将一个西红柿直接向上抛出，初速度为 $v_0$（正值），然后在它返回到释放高度时接住它。在它的自由落体飞行过程中（从刚释放后到接住之前的这段时间），表 2-1 的方程适用于它的运动。加速度始终为 $a=-g=-9.8{\text{m/s}}^2$，这是负值，因此方向是向下的。然而，速度会发生变化，正如方程 2-11 和 2-16 所示：在上升过程中，正向速度的大小逐渐减小，直到暂时变为零。因为这时西红柿已经停止运动，达到了它的最高点。在下降过程中，速度的大小（现在为负值）逐渐增加。

例1
(a) 如果你将一个球垂直向上抛出，从释放点到最高点，这段上升过程中的位移符号是什么？

(b) 从最高点到释放点，这段下降过程中的位移符号是什么？

(c) 当球到达最高点时，它的加速度是多少？

解

(a) 在上升过程中，球的位移是正的，因为它从起点（释放点）向上移动。

(b) 在下降过程中，球的位移是负的，因为它从最高点回到起点（释放点），是向下运动。

(c) 球在最高点的加速度是等于重力加速度 $g$，大约为 $9.8{\text{m/s}}^2$，方向朝向地面，即向下。

2-6 运动中的图形积分

运动中的图形积分

加速度的积分 当我们有一个物体的加速度 $a$ 和时间 $t$ 的图像时，我们可以对图像进行积分，来计算任意时刻的速度。由于 $a$ 被定义为 $a=dv/dt$，根据微积分基本定理，我们得到：

$$v_1-v_0={\int }_{t_0}^{t_1}adt\text{\hspace{1em}(2-27)}$$

方程右侧是一个定积分（它给出了一个数值结果而不是函数），其中 $v_0$ 是在时间 $t_0$ 时的速度，$v_1$ 是在时间 $t_1$ 时的速度。该定积分可以从加速度 $a(t)$ 图像上计算出来，如图 2-14a 所示。特别是，

$${\int }_{t_0}^{t_1}adt=\left(\text{加速度曲线与时间轴之间的面积，从 }{t}_0\text{ 到 }{t}_1\right)\text{\hspace{1em}(2-28)}$$

如果加速度的单位是 $1{\text{m/s}}^2$，时间的单位是 $1\text{s}$，则图上面积的相应单位为：

$$(1{\text{m/s}}^2)(1\text{s})=1\text{m/s}$$

这是（正确的）速度单位。当加速度曲线位于时间轴上方时，面积为正；当曲线位于时间轴下方时，面积为负。

速度的积分 同样，由于速度 $v$ 定义为位置 $x$ 的变化率 $v=dx/dt$，因此：

$$x_1-x_0={\int }_{t_0}^{t_1}vdt\text{\hspace{1em}(2-29)}$$

其中，$x_0$ 是在时间 $t_0$ 时的位置，$x_1$ 是在时间 $t_1$ 时的位置。方程（2-29）右侧的定积分可以从速度 $v(t)$ 的图像上计算出来，如图 2-14b 所示。特别是：

$${\int }_{t_0}^{t_1}vdt=\left(\text{速度曲线与时间轴之间的面积，从 }{t}_0\text{ 到 }{t}_1\right)\text{\hspace{1em}(2-30)}$$

如果速度的单位是 $1\text{m/s}$，时间的单位是 $1\text{s}$，则图上面积的相应单位为：

$$(1\text{m/s})(1\text{s})=1\text{m}$$

这是（正确的）位置和位移的单位。该面积是正数还是负数，取决于 $a(t)$ 曲线如图 2-14a 所描述的情况。