简介本资源为2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题的完整论文PDF聚焦无人机纯方位无源定位问题适合备战数模竞赛的本科生及指导教师参考。论文荣获河北省一等奖采用MATLAB编程实现围绕圆形与锥形编队场景系统建立被动接收信号无人机的定位模型与位置调整方案涵盖余弦定理反解、三圆共点判定、枚举法确定发射信号机数量及步长遍历调整等核心方法。压缩包内仅含1个PDF文件约2.63MB内容完整呈现摘要、问题重述、模型假设、符号说明及模型建立求解全过程可直接用于赛题复盘与论文写作参考。目前已有8039人学习下载读者可从中获取完整赛题解题思路、MATLAB数值计算与可视化实现路径以及从定位建模到编队调整的闭环分析框架对理解几何定位类赛题具有较高参考价值。1. 纯方位无源定位为什么三架无人机就能锁死一个点无人机编队飞行时如果每架飞机都靠卫星定位那倒简单——但电磁环境一旦被干扰或者干脆不允许主动辐射信号这套就全废了。纯方位无源定位要解决的问题很具体只靠接收到的方向信息角度不发射任何测距信号把一架有位置偏差的无人机拽回理想位置。听起来像玄学但背后的几何约束非常硬。这份 2022 年全国大学生数学建模竞赛本科组 B 题的完整解答核心就在回答一件事最少需要几个已知位置的信号源才能唯一确定一个未知点。答案不是两个也不是四个而是三个——而且这三个点还不能共线。整篇论文用余弦定理和“三圆共点”把这个结论从特殊推广到一般再用 MATLAB 把每一步都算出来。搞懂它你就搞懂了被动定位的底层逻辑角度如何转化为坐标轨迹如何从模糊变唯一以及为什么迭代调整能收敛。2. 定位模型的几何本质余弦定理怎么把角度变成坐标2.1 从三个方位角反解实际位置题目设定很清晰圆形编队中0 号无人机在圆心1 到 9 号均匀分布在半径 100 米的圆周上。假设 0 号、i 号、j 号三架无人机发射信号且位置无偏差k 号无人机被动接收它测到三个夹角 α₁、α₂、α₃。问题是怎么从这三个角度算出 k 号的实际坐标论文的做法是建立二维直角坐标系把 0 号固定在原点i 号固定在 x 轴上。这样 i 号和 j 号之间的距离 a₁ 可以直接用余弦定理求出——因为它们都在圆周上夹角由编号差决定相邻编号间隔 40°。接下来在三个三角形里反复用余弦定理把未知边长 k₀、a₂、a₃ 解出来最后通过极坐标转直角坐标得到 k 号的 (x, y)。关键代码逻辑如下% 已知发射信号无人机编号和接收信号无人机编号 a1 sqrt(2*r^2 - cosd(abs(FY0i-FY0j)*40)*2*r^2); % 两发射机间距离 syms k0 a2 a3 eq1 (k0^2 a3^2 - r^2)/(2*k0*a3) - cosd(alpha1); % 余弦定理方程1 eq2 (k0^2 a2^2 - r^2)/(2*k0*a2) - cosd(alpha2); % 余弦定理方程2 eq3 (a2^2 a3^2 - a1^2)/(2*a2*a3) - cosd(alpha3); % 余弦定理方程3 [X,Y,Z] solve(eq1, eq2, eq3, k0, a2, a3); K0 double(X); k0i acosd(1 - 2*cosd(alpha1)^2); k01 k0i - 40*abs(i-1); x real(K0*cosd(k01)); % 横坐标 y real(K0*sind(k01)); % 纵坐标这里r是编队半径alpha1到alpha3是接收到的三个方位角。三个方程三个未知量理论上唯一解。但注意solve返回的是符号解double转数值后还要取实部——因为余弦定理在钝角情况下会出现多解需要根据物理意义筛选。2.2 准确位置的确定三圆共点为什么成立上面求的是“实际位置”但无人机还需要知道“应该去哪”。论文给了一个更漂亮的几何解释一个动点到两个定点的夹角如果是定值它的轨迹是一段圆弧。当夹角为钝角时轨迹像“眼睛”为锐角时像“葫芦”。三架已知位置的无人机给出三条这样的轨迹它们必然交于一点——这就是准确位置。这个结论的证明用到了圆周角定理的逆定理。设两定点 A、B动点 P 满足 ∠APB θ定值则 P 在以 AB 为弦、圆周角为 θ 的圆上。θ 给定圆就定了。三个不同的发射机组合给出三个圆三圆共点即唯一解。论文里用余弦定理把每条边的长度用已知角和半径表示最终得到一组闭式解。特殊情况下当某个角是优角大于 180°余弦值不变模型依然成立——这一点在代码里通过abs和cosd自动处理了。3. 额外无人机数量为什么一架就够以及怎么找这一架3.1 从“葫芦”和“眼睛”看定位模糊性如果只有 0 号和 1 号发射信号其他无人机只能收到一个方位信息。一个角度能确定什么只能确定自己在一个圆弧上具体在弧上哪一点完全不知道。论文画了两种轨迹钝角时是“眼睛”形锐角时是“葫芦”形。无论哪种都是二维曲线不是点。增加一架发射信号无人机后接收机能收到三个方位信息分别来自 0 号、1 号和新增的那架。三条轨迹相交交点唯一。所以答案是额外增加 1 架就足够。增加更多当然也可以但没必要。3.2 枚举法56 种组合里找最优问题是新增哪一架论文的做法很暴力但有效——枚举。除 0 号和 1 号外剩下 8 架无人机任选一架作为第三发射机共有 C(8,1)8 种选择。但对于每架接收机它接收到的三个角度是确定的带偏差需要找到哪架发射机对应的理论角度与实际接收角度最接近。具体做法先算出所有可能情况下8 架发射机 × 8 架接收机 56 种的理论角度值存成表。然后对于某架接收机遍历所有候选发射机计算三个角度偏差的平方和min 1000; for i 2:9 if i FY0k continue; end m (beta1 - alpha1(i,FY0k))^2 (beta2 - alpha2(i,FY0k))^2 (beta3 - alpha3(i,FY0k))^2; if m min min m; mini i; end endbeta1到beta3是实际接收到的角度alpha1到alpha3是理论值。平方和最小意味着这架发射机最匹配。代码里mini就是最终选中的额外发射机编号。注意这里假设接收到的方向信息准确无误实际中会有噪声但题目做了理想化假设。3.3 位置调整0.01 米步长遍历的收敛逻辑定位问题解决后调整就简单了已知当前坐标和目标坐标向四周以 0.01 米步长遍历直到距离小于阈值。论文把调整方向分成“向北”和“向南”两类用余弦定理算出移动后的极坐标再与理想位置比较。njl 0.01; % 最小距离阈值 r 100; jl 100; while(jl njl) mjl 10000; for j 0:359 % 计算移动后的位置 % 更新 jl end end这段循环的本质是梯度下降的暴力版每次走一小步看是否更接近目标。步长 0.01 米保证了精度360° 遍历保证了方向无遗漏。由于调整时间不计可以认为无人机瞬间到位。4. 锥形编队的推广从圆形到任意队形的定位约束4.1 锥形编队的几何差异问题二把圆形换成锥形但底层逻辑没变。锥形编队中相邻三架无人机构成等边三角形直线上的间距相等。论文假设 1 号和 5 号位置无偏差先定位 2 号以 1 号、2 号为发射机5 号接收得到一个角度再以 2 号、5 号为发射机1 号接收得到另一个角度。三角形内角和为 180°两个角已知第三个角也就定了2 号的位置随之确定。4.2 延长线上的盲区与多轮定位策略但有个坑如果某架无人机恰好位于三架已知无人机构成的三角形边的延长线上它只能收到一个方向信息无法定位。论文明确指出第二轮中 4、7、9、11、13、14 号无人机就卡在这个盲区里。解决办法是换一组发射机。第三轮选取 2、6、8 号作为发射信号源剩下的未定位无人机都不在它们构成的三角形的延长线上于是全部可定位。这种“分轮次、换组合”的策略本质上是用不同的几何构型覆盖盲区。% 第三轮选取 2、6、8 为发射信号无人机 % 剩下的未定位无人机均不处于延长线上 % 因此都能进行定位和调整提示锥形编队的调整方向不是简单的径向而是沿锥面。论文没有展开锥面几何的细节但核心思路与圆形一致——先定位再迭代逼近。5. 避坑与排查建模和编程中容易翻车的地方5.1 余弦定理方程多解直接 solve 会拿到虚数现象用solve解三个余弦方程结果里出现复数double后取实部发现坐标不对。原因余弦定理在钝角情况下同一个余弦值对应两个角度θ 和 360°-θ方程本身有多解。符号求解器不知道物理约束会把所有解都返回。解决根据无人机的实际几何关系筛选。比如 k₀ 必须是正数a₂、a₃ 必须小于 2r。代码里用real()取实部只是第一步还要检查解是否在合理范围内。5.2 角度单位混用cosd 和 cos 搞反现象算出来的距离明显不对比如半径 100 米算出个 0.5 米。原因MATLAB 的cos接受弧度cosd接受角度。题目给的角度都是度数40°、80° 等如果误用cos结果全错。解决统一用cosd和sind。代码里所有角度计算都带d后缀这是血泪经验。5.3 枚举法里漏掉对角线情况现象某些接收机找不到匹配的额外发射机mini保持初始值 0。原因循环里if i FY0k continue跳过了自己但没考虑发射机不能与接收机重合。另外0 号和 1 号已经固定循环从 2 开始是对的但边界条件要仔细。解决在循环外先判断FY0k是否在 2 到 9 之间循环内用continue跳过自身。最后检查mini是否被更新过。5.4 步长遍历死循环jl 不更新现象while(jl njl)一直跑程序卡死。原因内层循环里没有正确更新jl或者更新逻辑写错导致距离始终大于阈值。解决每次移动后重新计算与目标点的距离赋值给jl。建议加一个最大迭代次数保护比如iter 10000就强制退出。5.5 锥形编队延长线盲区没处理现象第二轮定位时某些无人机怎么算都定不了位。原因这些无人机恰好在已知三角形边的延长线上几何上退化三个方向信息变成一个。解决换发射机组合。论文用第三轮换 2、6、8 号解决了这个问题。实际编程时可以预先判断哪些点共线直接跳过。6. 设计取舍为什么用解析几何而不是数值优化整篇论文最值得琢磨的取舍是明明可以用最小二乘或卡尔曼滤波做数值优化为什么偏要用余弦定理硬解答案藏在竞赛题的约束里。题目假设接收到的方向信息准确无误没有噪声这意味着解析解存在且唯一。用余弦定理一步步推导每一步都有明确的几何意义结果可验证、可复现。数值优化虽然通用但引入迭代误差和初值敏感性问题反而把简单问题复杂化了。另一个取舍是枚举法的使用。56 种情况听起来多但每種情况只是代入公式算三个角度计算量极小。比起设计一个智能搜索算法枚举更直接、更不容易出错。这种“暴力但可靠”的思路在工程中经常比精巧算法更实用。MATLAB 的选择也体现了取舍。符号计算solve能自动推导公式但速度慢数值计算快但需要手动处理多解。论文混合使用两者符号求解得到闭式解数值代入快速验证。这种组合在建模竞赛中是标准操作。从那以后我每次做几何定位问题都强制走一遍“先解析、再数值、最后枚举验证”的流程。解析保证理解本质数值保证效率枚举保证不漏情况。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取 
长河君 · 2026/10/17 14:15:57 · 阅读 1.2k 纯方位无源定位：三架无人机如何锁死一个点
简介本资源为2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题的完整论文PDF聚焦无人机纯方位无源定位问题适合备战数模竞赛的本科生及指导教师参考。论文荣获河北省一等奖采用MATLAB编程实现围绕圆形与锥形编队场景系统建立被动接收信号无人机的定位模型与位置调整方案涵盖余弦定理反解、三圆共点判定、枚举法确定发射信号机数量及步长遍历调整等核心方法。压缩包内仅含1个PDF文件约2.63MB内容完整呈现摘要、问题重述、模型假设、符号说明及模型建立求解全过程可直接用于赛题复盘与论文写作参考。目前已有8039人学习下载读者可从中获取完整赛题解题思路、MATLAB数值计算与可视化实现路径以及从定位建模到编队调整的闭环分析框架对理解几何定位类赛题具有较高参考价值。1. 纯方位无源定位为什么三架无人机就能锁死一个点无人机编队飞行时如果每架飞机都靠卫星定位那倒简单——但电磁环境一旦被干扰或者干脆不允许主动辐射信号这套就全废了。纯方位无源定位要解决的问题很具体只靠接收到的方向信息角度不发射任何测距信号把一架有位置偏差的无人机拽回理想位置。听起来像玄学但背后的几何约束非常硬。这份 2022 年全国大学生数学建模竞赛本科组 B 题的完整解答核心就在回答一件事最少需要几个已知位置的信号源才能唯一确定一个未知点。答案不是两个也不是四个而是三个——而且这三个点还不能共线。整篇论文用余弦定理和“三圆共点”把这个结论从特殊推广到一般再用 MATLAB 把每一步都算出来。搞懂它你就搞懂了被动定位的底层逻辑角度如何转化为坐标轨迹如何从模糊变唯一以及为什么迭代调整能收敛。2. 定位模型的几何本质余弦定理怎么把角度变成坐标2.1 从三个方位角反解实际位置题目设定很清晰圆形编队中0 号无人机在圆心1 到 9 号均匀分布在半径 100 米的圆周上。假设 0 号、i 号、j 号三架无人机发射信号且位置无偏差k 号无人机被动接收它测到三个夹角 α₁、α₂、α₃。问题是怎么从这三个角度算出 k 号的实际坐标论文的做法是建立二维直角坐标系把 0 号固定在原点i 号固定在 x 轴上。这样 i 号和 j 号之间的距离 a₁ 可以直接用余弦定理求出——因为它们都在圆周上夹角由编号差决定相邻编号间隔 40°。接下来在三个三角形里反复用余弦定理把未知边长 k₀、a₂、a₃ 解出来最后通过极坐标转直角坐标得到 k 号的 (x, y)。关键代码逻辑如下% 已知发射信号无人机编号和接收信号无人机编号 a1 sqrt(2*r^2 - cosd(abs(FY0i-FY0j)*40)*2*r^2); % 两发射机间距离 syms k0 a2 a3 eq1 (k0^2 a3^2 - r^2)/(2*k0*a3) - cosd(alpha1); % 余弦定理方程1 eq2 (k0^2 a2^2 - r^2)/(2*k0*a2) - cosd(alpha2); % 余弦定理方程2 eq3 (a2^2 a3^2 - a1^2)/(2*a2*a3) - cosd(alpha3); % 余弦定理方程3 [X,Y,Z] solve(eq1, eq2, eq3, k0, a2, a3); K0 double(X); k0i acosd(1 - 2*cosd(alpha1)^2); k01 k0i - 40*abs(i-1); x real(K0*cosd(k01)); % 横坐标 y real(K0*sind(k01)); % 纵坐标这里r是编队半径alpha1到alpha3是接收到的三个方位角。三个方程三个未知量理论上唯一解。但注意solve返回的是符号解double转数值后还要取实部——因为余弦定理在钝角情况下会出现多解需要根据物理意义筛选。2.2 准确位置的确定三圆共点为什么成立上面求的是“实际位置”但无人机还需要知道“应该去哪”。论文给了一个更漂亮的几何解释一个动点到两个定点的夹角如果是定值它的轨迹是一段圆弧。当夹角为钝角时轨迹像“眼睛”为锐角时像“葫芦”。三架已知位置的无人机给出三条这样的轨迹它们必然交于一点——这就是准确位置。这个结论的证明用到了圆周角定理的逆定理。设两定点 A、B动点 P 满足 ∠APB θ定值则 P 在以 AB 为弦、圆周角为 θ 的圆上。θ 给定圆就定了。三个不同的发射机组合给出三个圆三圆共点即唯一解。论文里用余弦定理把每条边的长度用已知角和半径表示最终得到一组闭式解。特殊情况下当某个角是优角大于 180°余弦值不变模型依然成立——这一点在代码里通过abs和cosd自动处理了。3. 额外无人机数量为什么一架就够以及怎么找这一架3.1 从“葫芦”和“眼睛”看定位模糊性如果只有 0 号和 1 号发射信号其他无人机只能收到一个方位信息。一个角度能确定什么只能确定自己在一个圆弧上具体在弧上哪一点完全不知道。论文画了两种轨迹钝角时是“眼睛”形锐角时是“葫芦”形。无论哪种都是二维曲线不是点。增加一架发射信号无人机后接收机能收到三个方位信息分别来自 0 号、1 号和新增的那架。三条轨迹相交交点唯一。所以答案是额外增加 1 架就足够。增加更多当然也可以但没必要。3.2 枚举法56 种组合里找最优问题是新增哪一架论文的做法很暴力但有效——枚举。除 0 号和 1 号外剩下 8 架无人机任选一架作为第三发射机共有 C(8,1)8 种选择。但对于每架接收机它接收到的三个角度是确定的带偏差需要找到哪架发射机对应的理论角度与实际接收角度最接近。具体做法先算出所有可能情况下8 架发射机 × 8 架接收机 56 种的理论角度值存成表。然后对于某架接收机遍历所有候选发射机计算三个角度偏差的平方和min 1000; for i 2:9 if i FY0k continue; end m (beta1 - alpha1(i,FY0k))^2 (beta2 - alpha2(i,FY0k))^2 (beta3 - alpha3(i,FY0k))^2; if m min min m; mini i; end endbeta1到beta3是实际接收到的角度alpha1到alpha3是理论值。平方和最小意味着这架发射机最匹配。代码里mini就是最终选中的额外发射机编号。注意这里假设接收到的方向信息准确无误实际中会有噪声但题目做了理想化假设。3.3 位置调整0.01 米步长遍历的收敛逻辑定位问题解决后调整就简单了已知当前坐标和目标坐标向四周以 0.01 米步长遍历直到距离小于阈值。论文把调整方向分成“向北”和“向南”两类用余弦定理算出移动后的极坐标再与理想位置比较。njl 0.01; % 最小距离阈值 r 100; jl 100; while(jl njl) mjl 10000; for j 0:359 % 计算移动后的位置 % 更新 jl end end这段循环的本质是梯度下降的暴力版每次走一小步看是否更接近目标。步长 0.01 米保证了精度360° 遍历保证了方向无遗漏。由于调整时间不计可以认为无人机瞬间到位。4. 锥形编队的推广从圆形到任意队形的定位约束4.1 锥形编队的几何差异问题二把圆形换成锥形但底层逻辑没变。锥形编队中相邻三架无人机构成等边三角形直线上的间距相等。论文假设 1 号和 5 号位置无偏差先定位 2 号以 1 号、2 号为发射机5 号接收得到一个角度再以 2 号、5 号为发射机1 号接收得到另一个角度。三角形内角和为 180°两个角已知第三个角也就定了2 号的位置随之确定。4.2 延长线上的盲区与多轮定位策略但有个坑如果某架无人机恰好位于三架已知无人机构成的三角形边的延长线上它只能收到一个方向信息无法定位。论文明确指出第二轮中 4、7、9、11、13、14 号无人机就卡在这个盲区里。解决办法是换一组发射机。第三轮选取 2、6、8 号作为发射信号源剩下的未定位无人机都不在它们构成的三角形的延长线上于是全部可定位。这种“分轮次、换组合”的策略本质上是用不同的几何构型覆盖盲区。% 第三轮选取 2、6、8 为发射信号无人机 % 剩下的未定位无人机均不处于延长线上 % 因此都能进行定位和调整提示锥形编队的调整方向不是简单的径向而是沿锥面。论文没有展开锥面几何的细节但核心思路与圆形一致——先定位再迭代逼近。5. 避坑与排查建模和编程中容易翻车的地方5.1 余弦定理方程多解直接 solve 会拿到虚数现象用solve解三个余弦方程结果里出现复数double后取实部发现坐标不对。原因余弦定理在钝角情况下同一个余弦值对应两个角度θ 和 360°-θ方程本身有多解。符号求解器不知道物理约束会把所有解都返回。解决根据无人机的实际几何关系筛选。比如 k₀ 必须是正数a₂、a₃ 必须小于 2r。代码里用real()取实部只是第一步还要检查解是否在合理范围内。5.2 角度单位混用cosd 和 cos 搞反现象算出来的距离明显不对比如半径 100 米算出个 0.5 米。原因MATLAB 的cos接受弧度cosd接受角度。题目给的角度都是度数40°、80° 等如果误用cos结果全错。解决统一用cosd和sind。代码里所有角度计算都带d后缀这是血泪经验。5.3 枚举法里漏掉对角线情况现象某些接收机找不到匹配的额外发射机mini保持初始值 0。原因循环里if i FY0k continue跳过了自己但没考虑发射机不能与接收机重合。另外0 号和 1 号已经固定循环从 2 开始是对的但边界条件要仔细。解决在循环外先判断FY0k是否在 2 到 9 之间循环内用continue跳过自身。最后检查mini是否被更新过。5.4 步长遍历死循环jl 不更新现象while(jl njl)一直跑程序卡死。原因内层循环里没有正确更新jl或者更新逻辑写错导致距离始终大于阈值。解决每次移动后重新计算与目标点的距离赋值给jl。建议加一个最大迭代次数保护比如iter 10000就强制退出。5.5 锥形编队延长线盲区没处理现象第二轮定位时某些无人机怎么算都定不了位。原因这些无人机恰好在已知三角形边的延长线上几何上退化三个方向信息变成一个。解决换发射机组合。论文用第三轮换 2、6、8 号解决了这个问题。实际编程时可以预先判断哪些点共线直接跳过。6. 设计取舍为什么用解析几何而不是数值优化整篇论文最值得琢磨的取舍是明明可以用最小二乘或卡尔曼滤波做数值优化为什么偏要用余弦定理硬解答案藏在竞赛题的约束里。题目假设接收到的方向信息准确无误没有噪声这意味着解析解存在且唯一。用余弦定理一步步推导每一步都有明确的几何意义结果可验证、可复现。数值优化虽然通用但引入迭代误差和初值敏感性问题反而把简单问题复杂化了。另一个取舍是枚举法的使用。56 种情况听起来多但每種情况只是代入公式算三个角度计算量极小。比起设计一个智能搜索算法枚举更直接、更不容易出错。这种“暴力但可靠”的思路在工程中经常比精巧算法更实用。MATLAB 的选择也体现了取舍。符号计算solve能自动推导公式但速度慢数值计算快但需要手动处理多解。论文混合使用两者符号求解得到闭式解数值代入快速验证。这种组合在建模竞赛中是标准操作。从那以后我每次做几何定位问题都强制走一遍“先解析、再数值、最后枚举验证”的流程。解析保证理解本质数值保证效率枚举保证不漏情况。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取