禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材》三、四、五 三章之间的关系§ 3 \S 3§3卷积核空域滤波器§ 4 \S 4§4FIR滤波器频域滤波器设计§ 5 \S 5§5LTI系统图像复原这三部分实际上讲的是同一件事都是LTI系统对应线性卷积。§ 3 \S 3§3卷积核和§ 4 \S 4§4FIR滤波器之间的桥梁是卷积定理时域卷积对应频域乘积。( f ∗ h ) ( x , y ) ⇔ F F ( u , v ) H ( u , v ) \left( f*h \right) \left( x,y \right)\overset{\mathscr{F} }{\mathop{\Leftrightarrow }}F\left( u,v \right)H\left( u,v \right)(f∗h)(x,y)⇔FF(u,v)H(u,v)频域滤波器设计是利用频域设计滤波器而不是指在频域滤波。FIR滤波器是空域滤波器。频域滤波器设计零相位滤波器是关于原点对称的。所以空域卷积不用旋转但本意还是卷积。§ 5 \S 5§5LTI系统假设原始图像f ( x , y ) f(x,y)f(x,y)通过一个点扩散函数h ( x , y ) h(x,y)h(x,y)通常是模糊并且观测的图像是g ( x , y ) g(x,y)g(x,y)。数学上这个过程可以用卷积来表示g ( x , y ) ( f ∗ h ) ( x , y ) η ( x , y ) g(x,y) (f * h)(x,y) \eta(x,y)g(x,y)(f∗h)(x,y)η(x,y)其中∗ *∗表示卷积操作η ( x , y ) \eta(x,y)η(x,y)表示加性噪声。图像复原通常解决去模糊问题。这是因为系统通常造成高频截止。但是图像滤波也常用锐化滤波。离散时间系统与数字滤波器离散时间系统与数字滤波器的概念等效。概念数字滤波器中的名称离散时间系统中的名称数学表示系统对脉冲的响应卷积核FIR滤波器单位脉冲响应h [ n ] h[n]h[n]h [ n ] h[n]h[n]相同的数学表达式两者是同一序列h [ n ] h[n]h[n]的不同称呼。作用用于计算输入信号的加权和描述系统动态特性的完整表征输出y [ n ] ( x ∗ h ) [ n ] y[n] (x * h)[n]y[n](x∗h)[n]FIR滤波器h [ n ] h[n]h[n]有限长卷积核与单位脉冲响应本质是同一概念h [ n ] h[n]h[n]。数字滤波器更关注实现因此直接称系数为“卷积核”或“滤波器抽头Taps”。离散时间系统更关注系统分析因此用“单位脉冲响应”描述系统特性。图像滤波与图像复原在信号处理中图像滤波Image Filtering和图像复原Image Restoration是两个相关但目标相反的任务。它们的核心区别在于已知量和求解目标的不同。一、图像滤波Image Filtering1. 定义图像滤波是指给定原始图像x xx和滤波器或卷积核h hh通过某种运算得到输出图像y yy的过程。2. 数学表达y [ n ] ( h ∗ x ) [ n ] 卷积 y[n] (h * x)[n] \quad \text{卷积}y[n](h∗x)[n]卷积或者更一般地y H x 线性系统表示 \boldsymbol{y} \boldsymbol{H}\boldsymbol{x} \quad \text{线性系统表示}yHx线性系统表示其中x \boldsymbol{x}x输入图像清晰/原始图像h hh滤波器如高斯滤波、均值滤波、Sobel算子等y \boldsymbol{y}y滤波后的输出图像∗ *∗表示卷积操作3. 目标去噪如使用均值滤波、高斯滤波边缘检测如使用 Sobel、Prewitt 等滤波器图像增强如锐化Unsharp Masking、模糊4. 特点正向问题已知输入和系统求输出通常是线性操作如卷积是图像复原的基础步骤之一图像滤波例子使用一个高斯滤波器h hh对图像x xx进行平滑得到模糊图像y yy使用 Sobel 滤波器对图像x xx提取边缘得到边缘图y yy二、图像复原Image RestorationInverse Problem1. 定义图像复原是指在已知退化图像y yy的情况下尝试恢复出原始图像x xx有时还需要估计退化系统h hh。2. 数学表达y h ∗ x η 含噪声的退化模型 y h * x \eta \quad \text{含噪声的退化模型}yh∗xη含噪声的退化模型或者y H x η \boldsymbol{y} \boldsymbol{H}\boldsymbol{x} \boldsymbol{\eta}yHxη其中y yy观测到的退化图像如模糊噪声h hh或H \boldsymbol{H}H未知或部分已知的退化系统如模糊核x xx原始图像需要恢复的目标η \boldsymbol{\eta}η加性噪声如高斯噪声3. 目标去除模糊Deblurring去噪Denoising超分辨率Super-resolution恢复清晰图像4. 分类非盲复原Non-blind restoration已知模糊图像y yy且知道模糊核h hh求原始图像x xx盲复原Blind restoration已知模糊图像y yy但不知道模糊核h hh要求同时恢复x xx和h hh两类子问题(1) 非盲复原已知h hh求x xx模型y x ∗ h η 已知 y 和 h 求 x y x * h \eta \quad \text{已知$y$和$h$求$x$}yx∗hη已知y和h求x方法逆滤波Inverse FilteringX ^ ( u , v ) Y ( u , v ) H ( u , v ) 对噪声敏感 \hat{X}(u,v) \frac{Y(u,v)}{H(u,v)} \quad \text{对噪声敏感}X^(u,v)H(u,v)Y(u,v)​对噪声敏感维纳滤波Wiener FilterX ^ ( u , v ) H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 S η ( u , v ) S x ( u , v ) Y ( u , v ) \hat{X}(u,v) \frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 \frac{S_\eta(u,v)}{S_x(u,v)}} Y(u,v)X^(u,v)∣H(u,v)∣2Sx​(u,v)Sη​(u,v)​H∗(u,v)​Y(u,v)S η S_\etaSη​、S x S_xSx​为噪声和信号的功率谱。(2) 盲复原未知h hh联合求x xx和h hh模型y x ∗ h η 已知 y 求 x 和 h y x * h \eta \quad \text{已知$y$求$x$和$h$}yx∗hη已知y求x和h方法交替最小化如 Richardson-Lucy 算法h ← h ⋅ ( y x ∗ h ∗ x ) , x ← x ⋅ ( y x ∗ h ∗ h ) h \leftarrow h \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast x \right), \quad x \leftarrow x \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast h \right)h←h⋅(x∗hy​∗x),x←x⋅(x∗hy​∗h)深度学习方法如 CNN 估计h hh和x xx。5. 核心挑战1.图像复原的病态性解不唯一如h hh和x xx的多种组合可生成相同的y yy。对噪声敏感高频信息丢失时逆滤波会放大噪声。2.盲复原的复杂性需额外约束如h hh的稀疏性、x xx的平滑性。三、总结图像滤波是从x xx和h hh到y yy的确定性过程。图像复原是从y yy反推x xx或h hh的逆问题需结合先验知识或数据驱动方法。图像滤波图像复原问题类型正向问题卷积逆向问题反卷积输入原始图像x xx和滤波器h hh退化图像y yy可能包含噪声输出滤波后的图像y yy恢复的原始图像x xx有时包括h hh数学模型y h ∗ x y h * xyh∗xy h ∗ x η y h * x \etayh∗xη是否有噪声通常不考虑噪声通常考虑噪声存在运算方向正向问题输入→输出逆问题输出→输入难度简单直接卷积复杂病态逆问题需正则化或先验应用场景图像增强、特征提取图像去噪、去模糊、超分辨