这类题目最值得先看的不是它有多少种解法而是它到底在考什么。力扣第1037题“有效的回旋镖”名字听起来有点怪但核心就是一个初中数学问题给你三个点的坐标判断它们是否在一条直线上。如果不在一条直线上就能构成一个“回旋镖”或者说一个三角形返回True如果在一条直线上就返回False。对于正在刷题、尤其是准备面试的朋友来说这道题的价值在于它考察的是对基础数学知识的代码实现能力以及对浮点数精度问题的处理意识。很多人在第一次做的时候会直接想到用斜率公式(y2-y1)/(x2-x1) (y3-y1)/(x3-x1)然后就被“除零”和“浮点数相等比较”这两个坑给卡住了。我建议先从理解题意和避开常见误区开始再去看代码实现。下面我会按实际解题和思考的顺序把这道题拆解清楚。1. 先拆题意什么是“有效的回旋镖”题目描述很简单给定一个数组points里面包含三个子数组每个子数组[x, y]代表一个点的坐标。你需要判断这三个点是否不在同一条直线上。1.1 问题转化这本质上是一个几何问题。三个点(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)共线的充要条件是它们构成的向量是共线的。更具体地说向量(x2-x1, y2-y1)和向量(x3-x1, y3-y1)是平行的。在数学上判断两个向量是否平行共线可以用它们的叉积对于二维向量叉积是一个标量是否为零来判断。叉积公式为(x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1)如果这个值等于0说明两个向量平行三点共线不是有效的回旋镖返回False。 如果这个值不等于0说明三点不共线是有效的回旋镖返回True。1.2 为什么不用斜率很多人第一反应是用斜率相等来判断共线(y2 - y1) / (x2 - x1) (y3 - y1) / (x3 - x1)这个方法有两个大问题除零问题当x2 - x1或x3 - x1等于0时分母为零程序会报错。虽然可以加if判断但会让代码变得冗长。浮点数精度问题除法会产生浮点数。在计算机中浮点数的存储和计算有精度误差直接使用比较两个浮点数是否相等是非常不可靠的。例如1.0 / 3.0的结果并不是一个精确的值。因此在编程竞赛和面试中凡是涉及几何、判断共线或平行优先考虑使用叉积或更一般的使用整数运算来避免精度问题。这是本题第一个要记住的经验点。2. 核心解法叉积公式的实现与解释理解了叉积是正道代码就非常简单了。我们直接实现叉积公式。2.1 代码实现def isBoomerang(points): :type points: List[List[int]] :rtype: bool # 解包三个点 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) points # 计算向量 (x2-x1, y2-y1) 和 (x3-x1, y3-y1) 的叉积 # 叉积公式 (x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1) cross_product (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) # 如果叉积为0则三点共线不是回旋镖 # 如果叉积不为0则三点不共线是有效的回旋镖 return cross_product ! 02.2 关键点解析解包赋值(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) points这行代码直接、清晰地将输入列表中的三个坐标点赋值给六个变量。这比反复使用points[0][0]这样的索引更易读。叉积计算整个算法的核心就这一行。它完全使用整数运算因为题目给的坐标是整数彻底避免了浮点数精度问题。返回值直接返回cross_product ! 0的结果。True代表叉积非零有效回旋镖False代表叉积为零三点共线。2.3 复杂度分析时间复杂度O(1)。只有固定次数的加减乘除运算。空间复杂度O(1)。只使用了常数个额外变量。这个效率对于任何输入都是最优的。3. 测试与边界条件代码写完了不要急着提交。先自己构造几个测试用例跑一遍尤其是边界情况。这是养成好习惯的关键一步。3.1 常规测试用例# 测试代码 print(isBoomerang([[1,1],[2,3],[3,2]])) # True三点构成三角形 print(isBoomerang([[1,1],[2,2],[3,3]])) # False三点在直线 yx 上 print(isBoomerang([[0,0],[1,1],[2,2]])) # False同样是 yx 直线 print(isBoomerang([[0,0],[0,1],[0,2]])) # False三点在垂直直线 x0 上 print(isBoomerang([[0,0],[1,0],[2,0]])) # False三点在水平直线 y0 上3.2 需要特别注意的边界情况重复点题目描述中“回旋镖”的定义是三个互不相同的点。但我们的叉积公式能处理重复点吗如果两个点重合例如points [[0,0], [0,0], [1,1]]那么向量(0,0)和(1,1)的叉积0*1 - 0*1 0会返回False。这符合逻辑因为两个点重合本质上它们和第三个点必然“共线”退化情况构不成一个面积不为零的三角形。但是题目明确说了点是互不相同的。不过我们的算法对于重复点也能给出合理的False输出这体现了算法的鲁棒性。在实际面试中你可以提一句“根据题意点应该是互异的但即使有重复点这个算法也能正确返回False。”大整数运算题目坐标是整数但叉积计算中涉及乘法。Python 的整数int是任意精度的所以不用担心溢出问题。这在其他语言如 C、Java中可能需要考虑使用long long类型。浮点数陷阱再次强调如果你一开始写的是斜率版本用这些测试用例可能会发现一些问题。例如对于点[[0,0], [1,2], [2,4]]斜率都是2浮点数比较可能没问题。但对于某些会产生无限循环小数的斜率比如点[[0,0], [1,3], [2,6]]斜率是3浮点数表示是精确的。但点[[0,0], [1,7], [2,14]]呢似乎也没问题。问题的关键在于你不能依赖运气。使用整数叉积是绝对安全的做法。4. 深入理解叉积的几何意义知道怎么用还不够最好能理解为什么叉积能判断共线。这对于举一反三解决其他几何问题很有帮助。4.1 叉积的几何含义对于二维向量u (a, b)和v (c, d)它们的叉积标量a*d - b*c的绝对值等于以这两个向量为邻边构成的平行四边形的面积。如果面积为0说明两个向量共线平行它们无法“张开”成一个有面积的平行四边形。如果面积不为0说明两个向量不共线可以构成一个平行四边形其面积就是叉积的绝对值。在我们的问题中向量u (x2-x1, y2-y1)和v (x3-x1, y3-y1)是以点1为起点的两个向量。它们的叉积为零意味着点1、2、3共线。叉积不为零意味着点1、2、3能构成一个三角形该三角形面积是平行四边形面积的一半即abs(cross_product)/2。4.2 与其他方法的联系理解了面积你就能明白为什么这道题有时也被归类为“计算三角形面积不为零”。判断三角形面积是否为零公式之一就是使用叉积。这也解释了为什么重复点会导致面积为零当两个点重合时其中一个向量是零向量它和任何向量的叉积都是零面积为零。5. 举一反三类似题型与变种刷题不能只刷一道要能识别题型和套路。这道题属于“计算几何”的基础题。掌握叉积后你可以解决一系列类似问题。5.1 力扣中的类似题目LeetCode 1232. 缀点成线这是几乎一模一样的问题给你一系列点超过三个判断它们是否都在同一条直线上。解题思路完全一样遍历点依次判断相邻三个点是否共线即叉积是否为零即可。LeetCode 812. 最大三角形面积给定一组点找出能构成最大面积三角形的三个点。核心就是遍历所有三元组用叉积公式计算面积abs(cross_product)/2.0并记录最大值。LeetCode 939. 最小面积矩形这道题更难一些但判断平行、垂直等关系时向量点积、叉积的知识是基础。5.2 面试可能问到的变种面试官可能会基于这道题进行扩展问题1“如果点不是整数而是浮点数坐标你的方法还适用吗”回答叉积公式依然适用但会出现浮点数精度问题。这时不能直接判断cross_product 0而应该判断abs(cross_product) epsilon其中epsilon是一个极小的正数如1e-10用来容忍计算误差。问题2“如果不允许使用乘法你能判断三点共线吗”回答这是一个有挑战性的问题。一种思路是比较斜率但要用分数形式(y2-y1)/(x2-x1)和(y3-y1)/(x3-x1)进行交叉相乘比较即判断(y2-y1)*(x3-x1) (y3-y1)*(x2-x1)。看这又回到了我们叉积公式的变形本质上还是乘法。如果完全不允许乘法在整数坐标下几乎无法精确判断。问题3“如何判断四个点是否构成一个平行四边形”回答判断两组对边分别平行且相等。利用向量知识对于点A,B,C,D需要满足向量AB 向量DC且向量AD 向量BC。这可以通过比较坐标差来实现。6. 从解题到刷题策略的思考通过这道简单的题目我们可以提炼出一些通用的力扣刷题策略。6.1 读题与转化很多力扣题目的描述都包裹着一个简单的核心。像“回旋镖”这种名词不要被它吓到仔细读题把它转化为基本的数学或计算机科学问题。这道题的核心就是“三点是否共线”。6.2 选择稳健的解法当一个问题有多个解法时如斜率法 vs 叉积法要选择稳健、坑少的解法。斜率法有除零和精度两个坑叉积法只有整数运算明显更稳健。在面试中选择稳健的解法并解释清楚原因比炫技更重要。6.3 测试驱动写完代码一定要用不同的用例测试包括常规用例肯定为True肯定为False。边界用例坐标值很大、很小点重复斜率为零或无穷大。 自己先测试一遍能大大减少提交出错的概率也向面试官展示了严谨性。6.4 理解背后的原理知道“怎么做”之后多问一句“为什么”。为什么叉积能判断共线它的几何意义是什么理解原理后你就能解决一类问题而不是一道题。6.5 整理与归类做完题把它放到你的知识框架里。这道题可以归类到“计算几何-基础-叉积应用”。以后遇到几何问题先想想向量、点积、叉积这些工具。7. 完整的、带注释的参考代码最后给出一份包含详细注释和测试的完整代码方便你理解和运行。class Solution(object): def isBoomerang(self, points): 判断三点是否构成有效的回旋镖即不共线。 使用向量叉积法避免浮点数精度问题。 参数 points: List[List[int]]包含三个点的坐标例如 [[1,1],[2,3],[3,2]] 返回 bool: 如果三点不共线返回 True否则返回 False。 # 1. 解包三个点的坐标使代码更清晰 point1, point2, point3 points x1, y1 point1 x2, y2 point2 x3, y3 point3 # 2. 计算向量 (x2-x1, y2-y1) 和 (x3-x1, y3-y1) 的叉积 # 叉积公式 (x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1) # 几何意义叉积的绝对值等于以这两个向量为邻边的平行四边形面积 # 面积为零 向量共线 三点共线 cross_product (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) # 3. 判断叉积是否为0 # 在整数运算中直接比较即可 # 如果考虑浮点数应使用 abs(cross_product) epsilon return cross_product ! 0 # 测试代码 if __name__ __main__: sol Solution() test_cases [ ([[1,1],[2,3],[3,2]], True), # 不共线三角形 ([[1,1],[2,2],[3,3]], False), # 共线斜率为1 ([[0,0],[0,1],[0,2]], False), # 共线垂直直线 ([[0,0],[1,0],[2,0]], False), # 共线水平直线 ([[0,0],[1,1],[2,3]], True), # 不共线 ([[0,0],[0,0],[1,1]], False), # 重复点退化共线 ] print(测试结果) for i, (points, expected) in enumerate(test_cases): result sol.isBoomerang(points) status 通过 if result expected else 失败 print(f测试用例 {i1}: 输入{points}, 期望{expected}, 输出{result}, {status})运行这段代码你会看到所有测试用例都通过。这验证了我们算法的正确性。8. 总结与下一步建议“有效的回旋镖”这道题本身不难但它是一个非常好的起点让你熟悉力扣中几何类题目的常见套路——使用向量运算代替浮点数计算。我个人的刷题建议是吃透基础像叉积这样的基础工具一定要理解其原理和代码实现。它会在很多题目里反复出现。一题多解虽然叉积法最好但你也可以尝试实现一下斜率法亲自踩一踩除零和精度那两个坑印象会更深刻。建立连接做完这道题立刻去刷我前面提到的1232. 缀点成线你会发现几乎不用思考就能写出来这就是知识迁移的效果。整理笔记在你的刷题笔记里为“计算几何”开一个分区把叉积公式、点积公式以及这道题、1232题、812题都放进去。定期回顾。最后不要只追求刷题数量。把这种一道题背后的数学原理、代码实现、测试方法、关联题目都搞明白刷一道顶十道。当你再遇到“判断点线关系”、“计算多边形面积”、“判断图形形状”这类问题时你的第一反应就会是向量和叉积这就是扎实的进步。 
长河君 · 2026/8/25 7:38:54 · 阅读 1.2k 力扣1037题解析：用叉积判断三点共线，避开浮点数精度陷阱
这类题目最值得先看的不是它有多少种解法而是它到底在考什么。力扣第1037题“有效的回旋镖”名字听起来有点怪但核心就是一个初中数学问题给你三个点的坐标判断它们是否在一条直线上。如果不在一条直线上就能构成一个“回旋镖”或者说一个三角形返回True如果在一条直线上就返回False。对于正在刷题、尤其是准备面试的朋友来说这道题的价值在于它考察的是对基础数学知识的代码实现能力以及对浮点数精度问题的处理意识。很多人在第一次做的时候会直接想到用斜率公式(y2-y1)/(x2-x1) (y3-y1)/(x3-x1)然后就被“除零”和“浮点数相等比较”这两个坑给卡住了。我建议先从理解题意和避开常见误区开始再去看代码实现。下面我会按实际解题和思考的顺序把这道题拆解清楚。1. 先拆题意什么是“有效的回旋镖”题目描述很简单给定一个数组points里面包含三个子数组每个子数组[x, y]代表一个点的坐标。你需要判断这三个点是否不在同一条直线上。1.1 问题转化这本质上是一个几何问题。三个点(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3)共线的充要条件是它们构成的向量是共线的。更具体地说向量(x2-x1, y2-y1)和向量(x3-x1, y3-y1)是平行的。在数学上判断两个向量是否平行共线可以用它们的叉积对于二维向量叉积是一个标量是否为零来判断。叉积公式为(x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1)如果这个值等于0说明两个向量平行三点共线不是有效的回旋镖返回False。 如果这个值不等于0说明三点不共线是有效的回旋镖返回True。1.2 为什么不用斜率很多人第一反应是用斜率相等来判断共线(y2 - y1) / (x2 - x1) (y3 - y1) / (x3 - x1)这个方法有两个大问题除零问题当x2 - x1或x3 - x1等于0时分母为零程序会报错。虽然可以加if判断但会让代码变得冗长。浮点数精度问题除法会产生浮点数。在计算机中浮点数的存储和计算有精度误差直接使用比较两个浮点数是否相等是非常不可靠的。例如1.0 / 3.0的结果并不是一个精确的值。因此在编程竞赛和面试中凡是涉及几何、判断共线或平行优先考虑使用叉积或更一般的使用整数运算来避免精度问题。这是本题第一个要记住的经验点。2. 核心解法叉积公式的实现与解释理解了叉积是正道代码就非常简单了。我们直接实现叉积公式。2.1 代码实现def isBoomerang(points): :type points: List[List[int]] :rtype: bool # 解包三个点 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) points # 计算向量 (x2-x1, y2-y1) 和 (x3-x1, y3-y1) 的叉积 # 叉积公式 (x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1) cross_product (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) # 如果叉积为0则三点共线不是回旋镖 # 如果叉积不为0则三点不共线是有效的回旋镖 return cross_product ! 02.2 关键点解析解包赋值(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) points这行代码直接、清晰地将输入列表中的三个坐标点赋值给六个变量。这比反复使用points[0][0]这样的索引更易读。叉积计算整个算法的核心就这一行。它完全使用整数运算因为题目给的坐标是整数彻底避免了浮点数精度问题。返回值直接返回cross_product ! 0的结果。True代表叉积非零有效回旋镖False代表叉积为零三点共线。2.3 复杂度分析时间复杂度O(1)。只有固定次数的加减乘除运算。空间复杂度O(1)。只使用了常数个额外变量。这个效率对于任何输入都是最优的。3. 测试与边界条件代码写完了不要急着提交。先自己构造几个测试用例跑一遍尤其是边界情况。这是养成好习惯的关键一步。3.1 常规测试用例# 测试代码 print(isBoomerang([[1,1],[2,3],[3,2]])) # True三点构成三角形 print(isBoomerang([[1,1],[2,2],[3,3]])) # False三点在直线 yx 上 print(isBoomerang([[0,0],[1,1],[2,2]])) # False同样是 yx 直线 print(isBoomerang([[0,0],[0,1],[0,2]])) # False三点在垂直直线 x0 上 print(isBoomerang([[0,0],[1,0],[2,0]])) # False三点在水平直线 y0 上3.2 需要特别注意的边界情况重复点题目描述中“回旋镖”的定义是三个互不相同的点。但我们的叉积公式能处理重复点吗如果两个点重合例如points [[0,0], [0,0], [1,1]]那么向量(0,0)和(1,1)的叉积0*1 - 0*1 0会返回False。这符合逻辑因为两个点重合本质上它们和第三个点必然“共线”退化情况构不成一个面积不为零的三角形。但是题目明确说了点是互不相同的。不过我们的算法对于重复点也能给出合理的False输出这体现了算法的鲁棒性。在实际面试中你可以提一句“根据题意点应该是互异的但即使有重复点这个算法也能正确返回False。”大整数运算题目坐标是整数但叉积计算中涉及乘法。Python 的整数int是任意精度的所以不用担心溢出问题。这在其他语言如 C、Java中可能需要考虑使用long long类型。浮点数陷阱再次强调如果你一开始写的是斜率版本用这些测试用例可能会发现一些问题。例如对于点[[0,0], [1,2], [2,4]]斜率都是2浮点数比较可能没问题。但对于某些会产生无限循环小数的斜率比如点[[0,0], [1,3], [2,6]]斜率是3浮点数表示是精确的。但点[[0,0], [1,7], [2,14]]呢似乎也没问题。问题的关键在于你不能依赖运气。使用整数叉积是绝对安全的做法。4. 深入理解叉积的几何意义知道怎么用还不够最好能理解为什么叉积能判断共线。这对于举一反三解决其他几何问题很有帮助。4.1 叉积的几何含义对于二维向量u (a, b)和v (c, d)它们的叉积标量a*d - b*c的绝对值等于以这两个向量为邻边构成的平行四边形的面积。如果面积为0说明两个向量共线平行它们无法“张开”成一个有面积的平行四边形。如果面积不为0说明两个向量不共线可以构成一个平行四边形其面积就是叉积的绝对值。在我们的问题中向量u (x2-x1, y2-y1)和v (x3-x1, y3-y1)是以点1为起点的两个向量。它们的叉积为零意味着点1、2、3共线。叉积不为零意味着点1、2、3能构成一个三角形该三角形面积是平行四边形面积的一半即abs(cross_product)/2。4.2 与其他方法的联系理解了面积你就能明白为什么这道题有时也被归类为“计算三角形面积不为零”。判断三角形面积是否为零公式之一就是使用叉积。这也解释了为什么重复点会导致面积为零当两个点重合时其中一个向量是零向量它和任何向量的叉积都是零面积为零。5. 举一反三类似题型与变种刷题不能只刷一道要能识别题型和套路。这道题属于“计算几何”的基础题。掌握叉积后你可以解决一系列类似问题。5.1 力扣中的类似题目LeetCode 1232. 缀点成线这是几乎一模一样的问题给你一系列点超过三个判断它们是否都在同一条直线上。解题思路完全一样遍历点依次判断相邻三个点是否共线即叉积是否为零即可。LeetCode 812. 最大三角形面积给定一组点找出能构成最大面积三角形的三个点。核心就是遍历所有三元组用叉积公式计算面积abs(cross_product)/2.0并记录最大值。LeetCode 939. 最小面积矩形这道题更难一些但判断平行、垂直等关系时向量点积、叉积的知识是基础。5.2 面试可能问到的变种面试官可能会基于这道题进行扩展问题1“如果点不是整数而是浮点数坐标你的方法还适用吗”回答叉积公式依然适用但会出现浮点数精度问题。这时不能直接判断cross_product 0而应该判断abs(cross_product) epsilon其中epsilon是一个极小的正数如1e-10用来容忍计算误差。问题2“如果不允许使用乘法你能判断三点共线吗”回答这是一个有挑战性的问题。一种思路是比较斜率但要用分数形式(y2-y1)/(x2-x1)和(y3-y1)/(x3-x1)进行交叉相乘比较即判断(y2-y1)*(x3-x1) (y3-y1)*(x2-x1)。看这又回到了我们叉积公式的变形本质上还是乘法。如果完全不允许乘法在整数坐标下几乎无法精确判断。问题3“如何判断四个点是否构成一个平行四边形”回答判断两组对边分别平行且相等。利用向量知识对于点A,B,C,D需要满足向量AB 向量DC且向量AD 向量BC。这可以通过比较坐标差来实现。6. 从解题到刷题策略的思考通过这道简单的题目我们可以提炼出一些通用的力扣刷题策略。6.1 读题与转化很多力扣题目的描述都包裹着一个简单的核心。像“回旋镖”这种名词不要被它吓到仔细读题把它转化为基本的数学或计算机科学问题。这道题的核心就是“三点是否共线”。6.2 选择稳健的解法当一个问题有多个解法时如斜率法 vs 叉积法要选择稳健、坑少的解法。斜率法有除零和精度两个坑叉积法只有整数运算明显更稳健。在面试中选择稳健的解法并解释清楚原因比炫技更重要。6.3 测试驱动写完代码一定要用不同的用例测试包括常规用例肯定为True肯定为False。边界用例坐标值很大、很小点重复斜率为零或无穷大。 自己先测试一遍能大大减少提交出错的概率也向面试官展示了严谨性。6.4 理解背后的原理知道“怎么做”之后多问一句“为什么”。为什么叉积能判断共线它的几何意义是什么理解原理后你就能解决一类问题而不是一道题。6.5 整理与归类做完题把它放到你的知识框架里。这道题可以归类到“计算几何-基础-叉积应用”。以后遇到几何问题先想想向量、点积、叉积这些工具。7. 完整的、带注释的参考代码最后给出一份包含详细注释和测试的完整代码方便你理解和运行。class Solution(object): def isBoomerang(self, points): 判断三点是否构成有效的回旋镖即不共线。 使用向量叉积法避免浮点数精度问题。 参数 points: List[List[int]]包含三个点的坐标例如 [[1,1],[2,3],[3,2]] 返回 bool: 如果三点不共线返回 True否则返回 False。 # 1. 解包三个点的坐标使代码更清晰 point1, point2, point3 points x1, y1 point1 x2, y2 point2 x3, y3 point3 # 2. 计算向量 (x2-x1, y2-y1) 和 (x3-x1, y3-y1) 的叉积 # 叉积公式 (x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*(x3-x1) # 几何意义叉积的绝对值等于以这两个向量为邻边的平行四边形面积 # 面积为零 向量共线 三点共线 cross_product (x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) # 3. 判断叉积是否为0 # 在整数运算中直接比较即可 # 如果考虑浮点数应使用 abs(cross_product) epsilon return cross_product ! 0 # 测试代码 if __name__ __main__: sol Solution() test_cases [ ([[1,1],[2,3],[3,2]], True), # 不共线三角形 ([[1,1],[2,2],[3,3]], False), # 共线斜率为1 ([[0,0],[0,1],[0,2]], False), # 共线垂直直线 ([[0,0],[1,0],[2,0]], False), # 共线水平直线 ([[0,0],[1,1],[2,3]], True), # 不共线 ([[0,0],[0,0],[1,1]], False), # 重复点退化共线 ] print(测试结果) for i, (points, expected) in enumerate(test_cases): result sol.isBoomerang(points) status 通过 if result expected else 失败 print(f测试用例 {i1}: 输入{points}, 期望{expected}, 输出{result}, {status})运行这段代码你会看到所有测试用例都通过。这验证了我们算法的正确性。8. 总结与下一步建议“有效的回旋镖”这道题本身不难但它是一个非常好的起点让你熟悉力扣中几何类题目的常见套路——使用向量运算代替浮点数计算。我个人的刷题建议是吃透基础像叉积这样的基础工具一定要理解其原理和代码实现。它会在很多题目里反复出现。一题多解虽然叉积法最好但你也可以尝试实现一下斜率法亲自踩一踩除零和精度那两个坑印象会更深刻。建立连接做完这道题立刻去刷我前面提到的1232. 缀点成线你会发现几乎不用思考就能写出来这就是知识迁移的效果。整理笔记在你的刷题笔记里为“计算几何”开一个分区把叉积公式、点积公式以及这道题、1232题、812题都放进去。定期回顾。最后不要只追求刷题数量。把这种一道题背后的数学原理、代码实现、测试方法、关联题目都搞明白刷一道顶十道。当你再遇到“判断点线关系”、“计算多边形面积”、“判断图形形状”这类问题时你的第一反应就会是向量和叉积这就是扎实的进步。