【笔面试常见题:三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导

1. 问题介绍

三门问题,又叫蒙提霍尔问题(Monty Hall problem),以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述,来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》(Parade Magazine)玛丽莲·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant)专栏的信件:

假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇:其中一扇后面有一辆车;其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人,开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号门吗?”变换你的选择对你来说是一种优势吗?

在这里插入图片描述

2. 事件定义

不失一般性,假设我们最初选择1号门,然后主持人打开3号门。定义事件如下:

  • A 1 = A_1= A1= 汽车在1号门后
  • A 2 = A_2= A2= 汽车在2号门后
  • A 3 = A_3= A3= 汽车在3号门后
  • B 3 = B_3= B3= 主持人打开3号门

根据题意不难得到:

  • P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = P ( A 3 ) = 1 3 P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3} P(A1)=P(A2)=P(A3)=31
  • 如果汽车在1号门后,那么主持人可以选择打开2号门或3号门。主持人打开3号门的概率是二分之一,此时: P ( B 3 ∣ A 1 ) = 1 2 P(B_3|A_1)=\frac{1}{2} P(B3A1)=21
  • 如果汽车在2号门后,主持人只能打开3号门(因为门1是你选的,门2有汽车),此时: P ( B 3 ∣ A 2 ) = 1 P(B_3|A_2)=1 P(B3A2)=1
  • 如果汽车在3号门后,主持人不会打开3号门,此时: P ( B 3 ∣ A 3 ) = 0 P(B_3|A_3)=0 P(B3A3)=0

计算概率

如果我们选择换门,则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后,汽车在2号门的概率,即: P ( A 2 ∣ B 3 ) P(A_2|B_3) P(A2B3)
根据贝叶斯公式:
P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(BA)P(A)
P ( A 2 ∣ B 3 ) = P ( B 3 ∣ A 2 ) P ( A 2 ) P ( B 3 ) = P ( B 3 ∣ A 2 ) P ( A 2 ) ∑ i = 1 3 P ( B 3 ∣ A i ) P ( A i ) = 1 / 3 1 / 2 = 2 3 \begin{align} P(A_2|B_3)=&\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{P(B_3)}\notag\\ =&\frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{\sum_{i=1}^3P(B_3|A_i)P(A_i)}\notag\\ =&\frac{1/3}{1/2}\notag\\ =&\frac{2}{3}\notag \end{align} P(A2B3)====P(B3)P(B3A2)P(A2)i=13P(B3Ai)P(Ai)P(B3A2)P(A2)1/21/332
相似的,如果我们选择不换门,则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后,汽车还在1号门后的概率: P ( B 3 ∣ A 1 ) = P ( B 3 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B 3 ) = 1 3 P(B_3|A_1)=\frac{P(B_3|A_1)P(A_1)}{P(B_3)}=\frac{1}{3} P(B3A1)=P(B3)P(B3A1)P(A1)=31
总结,选择换门,赢得汽车的概率是2/3,选择不换,赢得汽车的概率是1/3,所以果断换门。

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