李雅普诺夫稳定性第一定理和第二定理是分析非线性系统稳定性的重要工具，以下是两者的具体内容：

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李雅普诺夫稳定性第一定理

内容

第一定理（Lyapunov’s First Method）主要用于局部稳定性分析。
如果可以构造一个适当的李雅普诺夫函数$V(x)$，并满足以下条件，则可以判断系统在平衡点的稳定性：

1. $V(x)$的正定性：
   $$V(x)>0,\forall x\ne 0,V(0)=0.$$
   表示函数在原点处为零，在其余点处为正。

2. $\dot{V}(x)$的半负定性：
   $$\dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}f(x)\le 0,\forall x\ne 0.$$
   表示$V(x)$沿系统轨迹单调不增加。

结论

• 如果上述条件成立，则系统在平衡点$x=0$处是稳定的。
• 如果$\dot{V}(x)<0,\forall x\ne 0$，则系统在平衡点$x=0$处是渐近稳定的。

适用范围

第一定理适用于分析系统的局部稳定性，即在平衡点附近的小范围内系统的行为。

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李雅普诺夫稳定性第二定理

内容

第二定理（Lyapunov’s Second Method）是直接法，不需要求解系统的轨迹，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

考虑一个非线性系统：
$$\dot{x}=f(x),f(0)=0.$$

假设可以找到一个标量函数$V(x)$，使得：

1. $V(x)$正定：
   $$V(x)>0,\forall x\ne 0,V(0)=0.$$

2. $\dot{V}(x)$负定：
   $$\dot{V}(x)<0,\forall x\ne 0.$$

结论

• 如果满足上述条件，则系统在平衡点$x=0$处是渐近稳定的。
• 如果同时能够证明$V(x)\to \infty$当$\Vert x\Vert \to \infty$，则系统在平衡点$x=0$处是全局渐近稳定的。

适用范围

第二定理不仅适用于局部稳定性分析，还可扩展到全局稳定性的研究。

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两者区别

特性	第一定理	第二定理
方法	间接法：通过线性化或局部分析研究系统轨迹。	直接法：通过构造李雅普诺夫函数研究整体系统行为。
适用范围	局部稳定性分析。	局部和全局稳定性分析。
构造函数要求	$\dot{V}(x)\le 0$（半负定即可）。	$\dot{V}(x)<0$（必须负定）。
应用场景	简化分析复杂非线性系统的局部行为。	更适合全局稳定性或非线性系统直接判断。