Scherk曲面

证明形如$z=f(x)+g(y)$的极小曲面，若非平面，则除相差一个常数外，它可以写成
$$z=\frac{1}{a}\log \frac{\cos ay}{\cos ax}.$$

此曲面称为 Scherk 曲面.

证明：设方程$z=f(x)+g(y)$定义了一个极小曲面$S.$显然，它有参数表达式
$$\mathbf{r}(u,v)=(u,v,f(u)+g(v)).$$

直接计算，有

$${\mathbf{r}}_u=(1,0,f^{\prime }(u)),{\mathbf{r}}_v=(0,1,g^{\prime }(v)).$$

故

$$E=1+f^{\prime }(u{)}^2,F=f^{\prime }(u)g^{\prime }(v),G=1+g^{\prime }(v).$$

由

$${\mathbf{r}}_u\wedge {\mathbf{r}}_v=(-f^{\prime }(u),-g^{\prime }(v),1),$$

知

$$\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{1+f^{\prime }(u{)}^2+g^{\prime }(v{)}^2}}(-f^{\prime }(u),-g^{\prime }(v),1).$$

而

$${\mathbf{r}}_{uu}=(0,0,f^{\prime \prime }(u)),{\mathbf{r}}_{uv}=0,{\mathbf{r}}_{vv}=(0,0,g^{\prime \prime }(v)),$$

故

$$L=\frac{f^{\prime \prime }(u)}{\sqrt{1+f^{\prime }(u{)}^2+g^{\prime }(v{)}^2}},M=0,N=\frac{g^{\prime \prime }(v)}{\sqrt{1+f^{\prime }(u{)}^2+g^{\prime }(v{)}^2}}.$$

由于曲面是极小的，

$$H=\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}=\frac{f^{\prime \prime }(u)(1+g^{\prime }(v{)}^2)+g^{\prime \prime }(v)(1+f^{\prime }(u{)}^2)}{2(1+f^{\prime }(u{)}^2+g^{\prime }(v{)}^2{)}^{\frac{3}{2}})}=0.$$

这等价于

$$f^{\prime \prime }(u)(1+g^{\prime }(v{)}^2)+g^{\prime \prime }(v)(1+f^{\prime }(u{)}^2)=0.$$

继而，等价于

$$\frac{f^{\prime \prime }(u)}{1+f^{\prime }(u{)}^2}=-\frac{g^{\prime \prime }(v)}{1+g^{\prime }(v{)}^2}.$$

由于上面等式两边是关于不同变量的函数，故它们只能为同一常数，记为$a.$

若$S$不是平面，则必有$a\ne 0.$

否则，由$f^{\prime \prime }(u)=0=g^{\prime \prime }(v)$,

有$f(u)=ku+m$,$g(v)=lv+n$.

从而$,S$ 是平面.

现在

$$d(\arctan f^{\prime }(u))=d(au),d(\arctan g^{\prime }(v))=d(-av).$$

故

$$\arctan f^{\prime }(u)=au+b,\arctan g^{\prime }(v)=-av-c,$$

其中 $b,c$ 为常数.从而，

$$f(u)=-\frac{1}{a}\log \cos (au+b)+d,g(v)=\frac{1}{a}\log \cos (av+c)+e,$$

其中 $d,e$ 为常数.所以，

$$z=f(x)+g(y)=\frac{1}{a}\log \frac{\cos (ay+c)}{\cos (ax+b)}+d+e.$$