刚刚，著名数学家陶哲轩在个人社交平台更新的几篇帖子，引起大家广泛的共鸣。

陶哲轩用浅显易懂的语言表达了自己对数学的理解与思考心得。 

文中谈到了一个关于「度」的问题，陶哲轩表示在设计系统时，缺乏或者过度的数学分析可能都会适得其反，所以要适度。

有时，我们不需要太过复杂精深的专业知识，大道至简。

对于大多数任务，使用一些相对简单但通用的数学方法，往往比专门设计的算法效果更好。

陶哲轩还提到，在纯数学中，故意忽略一些直觉上看似非常重要的信息非常有帮助。

接下来是陶哲轩帖子全部内容。

掌握一点点的数学知识就能大有裨益。系统的设计不仅仅会因为缺乏足够的数学分析而受到限制，同样也可能因为过度的数学分析而受到阻碍。 

一个常见的例子是网络安全中对密码的要求。从数学上讲，密码要求越复杂（例如，规定最小长度、特殊字符或不重复使用密码），密码就越安全。

然而，如果要求过于复杂，用户和服务提供商可能会寻找绕过复杂要求的方法，比如寻找简单的密码重置或恢复方式，或者将密码存储在不安全的系统中。这些做法反而可能降低整体系统的安全性，而不是提升它。 

另一方面，只对单一指标（如用户使用密码直接登录系统）进行过度优化，可能会损害更广泛的目标。就如古德哈特定律（Goodhart's law）中所说的，「当压力施于其上以进行控制时，任何观测到的统计恒性都倾向消散。」

粗略的讲，在设计安全性时，直接输入方式的安全性应该加强到与其他输入方式的安全性相当，但超过这个程度的加强反而可能适得其反。

举个例子来说，如果一栋建筑的前门有锁，但窗户没有防护，那么再给前门加更多的锁就没有太大意义，这样做甚至可能导致一种危险的虚假安全感。另一方面，如果窗户比前门更难进入，那么在前门上至少加一把锁就很合理。 

在人工智能领域，强化学习之父 Rick Sutton 的「苦涩的教训」（Bitter Lesson）就是这一原则的一个例子。

从直觉上来看，大家往往会认为针对具体任务量身定制算法是最自然的选择，在某些情况下，确实能取得不错的效果。

其实，对于大多数任务，使用一些相对简单但通用的数学方法，如梯度下降和反向传播，往往比专门设计的算法效果更好。通用方法不依赖于特定任务的领域知识，而是通过大量的数据和计算资源来训练模型，通常能带来更大的进展。

最近，我看到了有人为传感器网络开发更实惠的模数转换器（ADC），就是这条发现的证明。

传统上，ADC 电路基于经典电气工程原理设计，采用常微分方程（ODE）、共振、傅里叶变换等数学工具来构建高效电路。然而，在一些特定环境（如传感器网络）中，我们的目标是大规模、快速且成本低的方式实现模数转换，同时可以容忍一定的故障率。

在这种情况下，训练神经网络来设计 ADC 电路，不依赖任何专业领域的知识（如傅里叶分析），反而是更好的方法。

这并不是说领域知识毫无用处 —— 例如，物理信息神经网络在许多物理领域的表现可以远超标准神经网络 —— 关键在于了解在什么情况下，应该运用多少领域知识。

在纯数学中，一个有效的解题方法是故意忽略一些直觉上看似非常重要的信息。比如，在分析数论中，许多进展都是通过把像素数这样的「重要」数学对象转化为看起来更加简单、结构较少的形式来实现的。这样做可以让我们更容易找到解决问题的途径。

但抽象也需要把握一个度。如果抽象得过头，就会丢失关键信息，反而无法解决问题；而如果抽象得恰到好处，问题就会变得更加清晰，从而找到合适的技巧去解决它。在此过程中甚至可以做出一些看似不太合理的变换，让解题思路更加灵活起来。

我有时会开玩笑说，应用数学家只需要掌握每本纯数学研究生教材的前两章，之后的章节对他们可能帮助不大（甚至可能有负面作用）。

另一方面，正是寻找第 3 到第 12 章的过程，才使得前两章至臻完美、具有广泛实用性的瑰宝。

在读完陶哲轩的这段见解后，有人评论道：这些建议非常有价值，不论是对于哪种问题，都要做到： 

• 简化细节，直到看到更宏观的问题结构。

• 判断是否已有针对同类问题的解决方案。

• 或者判断这个一般性问题类是否过于笼统，或者是否过于具体。

参考链接：

https://mathstodon.xyz/@tao/113482950431855749