八 朴素贝叶斯分类

1 贝叶斯分类理论

假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：

我们现在用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(图中红色圆点表示的类别)的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2(图中蓝色三角形表示的类别)的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：

• 如果p1(x,y)>p2(x,y)，那么类别为1
• 如果p1(x,y)<p2(x,y)，那么类别为2

也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。已经了解了贝叶斯决策理论的核心思想，那么接下来，就是学习如何计算p1和p2概率。

2 条件概率

在学习计算p1 和p2概率之前，我们需要了解什么是条件概率(Conditional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)/𝑃(𝐵)

因此，

𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐵)

同理可得，

𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)

即

𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(B|A)𝑃(𝐴)/𝑃(𝐵)

这就是条件概率的计算公式。

3 全概率公式

除了条件概率以外，在计算p1和p2的时候，还要用到全概率公式，因此，这里继续推导全概率公式。

假定样本空间S，是两个事件A与A’的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A’，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

即：

𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵∩𝐴)+𝑃(𝐵∩𝐴′)

在上面的推导当中，我们已知

𝑃(𝐵∩𝐴)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)

所以：

𝑃(𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵|𝐴′)𝑃(𝐴′)

这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A’构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A’的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^{,})P(A^{,})}$

4 贝叶斯推断

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式:

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。

P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。

P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成下面的式子：

后验概率　＝　先验概率ｘ调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

5 朴素贝叶斯推断

理解了贝叶斯推断，那么让我们继续看看朴素贝叶斯。贝叶斯和朴素贝叶斯的概念是不同的，区别就在于“朴素”二字，朴素贝叶斯对条件概率分布做了条件独立性的假设。 比如下面的公式，假设有n个特征：

根据贝叶斯定理，后验概率 P(a|X) 可以表示为：

$P(a|X)=\frac{P(X|a)P(a)}{P(X)}$

其中：

• P(X|a) 是给定类别 ( a ) 下观测到特征向量 $X=(x_1, x_2, …, x_n) $的概率；
• P(a) 是类别 a 的先验概率；
• P(X) 是观测到特征向量 X 的边缘概率，通常作为归一化常数处理。

朴素贝叶斯分类器的关键假设是特征之间的条件独立性，即给定类别 a ，特征 $x_i$ 和 $x_j$ (其中 $i\ne j$ 相互独立。)

因此，我们可以将联合概率 P(X|a) 分解为各个特征的概率乘积：

$P(X|a)=P(x_1,x_2,...,x_n|a)=P(x_1|a)P(x_2|a)...P(x_n|a)$

将这个条件独立性假设应用于贝叶斯公式，我们得到：

$P(a|X)=\frac{P(x_1|a)P(x_2|a)...P(x_n|a)P(a)}{P(X)}$

这样，朴素贝叶斯分类器就可以通过计算每种可能类别的条件概率和先验概率，然后选择具有最高概率的类别作为预测结果。

这样我们就可以进行计算了。如果有些迷糊，让我们从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。

	纹理	色泽	鼔声	类别
1	清晰	清绿	清脆	好瓜
2	模糊	乌黑	浊响	坏瓜
3	模糊	清绿	浊响	坏瓜
4	清晰	乌黑	沉闷	好瓜
5	清晰	清绿	浊响	好瓜
6	模糊	乌黑	沉闷	坏瓜
7	清晰	乌黑	清脆	好瓜
8	模糊	清绿	沉闷	好瓜
9	清晰	乌黑	浊响	坏瓜
10	模糊	清绿	清脆	好瓜
11	清晰	清绿	沉闷	？
12	模糊	乌黑	浊响	?

示例：
p(a|X) = p(X|a)* p(a)/p(X)
p(X|a) = p(x1,x2,x3...xn|a) = p(x1|a)*p(x2|a)*p(x3|a)...p(xn|a)
p(X) = p(x1,x2,x3...xn) = p(x1)*p(x2)*p(x3)...p(xn)
p(a|X) = p(x1|a)*p(x2|a)*p(x3|a)...p(xn|a) * p(a) / p(x1)*p(x2)*p(x3)...p(xn)P(好瓜)=(好瓜数量)/所有瓜
P(坏瓜)=(坏瓜数量)/所有瓜
p（纹理清晰）=(纹理清晰数量)/所有瓜
p（纹理清晰|好瓜）= 好瓜中纹理清晰数量/好瓜数量
p（纹理清晰|坏瓜)= 坏瓜中纹理清晰数量/坏瓜数量p(好瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)=【p(好瓜)】*【p(纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷|好瓜)】/【p(纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)】=【p(好瓜)】*【p（纹理清晰|好瓜）*p（色泽清绿|好瓜）*p（鼓声沉闷|好瓜)】/【p（纹理清晰）*p（色泽清绿）*p（鼓声沉闷)】p(坏瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)=【p(坏瓜)*p（纹理清晰|坏瓜）*p（色泽清绿|坏瓜）*p（鼓声沉闷|坏瓜)】/【p（纹理清晰）*p（色泽清绿）*p（鼓声沉闷)】从公式中判断"p(好瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)"和"p(坏瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)"时，因为它们的分母
值是相同的，[值都是p（纹理清晰）*p（色泽清绿）*p（鼓声沉闷)]，所以只要计算它们的分子就可以判断是"好瓜"还是"坏瓜"之间谁大谁小了，所以没有必要计算分母
p(好瓜) = 6/10
p(坏瓜)=4/10
p（纹理清晰|好瓜） = 4/6 
p（色泽清绿|好瓜） = 4/6
p（鼓声沉闷|好瓜） = 2/6
p（纹理清晰|坏瓜） = 1/4 
p（色泽清绿|坏瓜） = 1/4
p（鼓声沉闷|坏瓜） = 1/4
把以上计算代入公式的分子
p(好瓜)*p（纹理清晰|好瓜）*p（色泽清绿|好瓜）*p（鼓声沉闷|好瓜) = 4/45
p(坏瓜)*p（纹理清晰|坏瓜）*p（色泽清绿|坏瓜）*p（鼓声沉闷|坏瓜) = 1/160
所以
p(好瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷) >  p(坏瓜|纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)，
所以把(纹理清晰，色泽清绿，鼓声沉闷)的样本归类为好瓜作业？
当样本为(纹理模糊、色泽乌黑、鼓声浊响)时归类为好瓜还是坏瓜

6 拉普拉斯平滑系数

某些事件或特征可能从未出现过，这会导致它们的概率被估计为零。然而，在实际应用中，即使某个事件或特征没有出现在训练集中，也不能完全排除它在未来样本中出现的可能性。拉普拉斯平滑技术可以避免这种“零概率陷阱”

公式为:

一般α取值1，m的值为总特征数量

通过这种方法，即使某个特征在训练集中从未出现过，它的概率也不会被估计为零，而是会被赋予一个很小但非零的值，从而避免了模型在面对新数据时可能出现的过拟合或预测错误

比如计算判断新瓜(纹理清晰，色泽淡白，鼓声沉闷)是好和坏时,因为在样本中色泽淡白没有出现,导致出现0值,会影响计算结果,要采用拉普拉斯平滑系数

p(好瓜|纹理清晰，色泽淡白，鼓声沉闷)=【p(好瓜)】*【p（纹理清晰|好瓜）*p（色泽淡白|好瓜）*p（鼓声沉闷|好瓜)】/【p（纹理清晰）*p（色泽淡白）*p（鼓声沉闷)】
p(坏瓜|纹理清晰，色泽淡白，鼓声沉闷)=【p(坏瓜)】*【p（纹理清晰|坏瓜）*p（色泽淡白|坏瓜）*p（鼓声沉闷|坏瓜)】/【p（纹理清晰）*p（色泽淡白）*p（鼓声沉闷)】   
p（纹理清晰|好瓜）= (4+1)/(6+3)  # +1是因为防止零概率 +3是因为有3个特征(纹理,色泽,鼓声)
p（色泽淡白|好瓜）= (0+1)/(6+3)  
p（鼓声沉闷|好瓜) = (2+1)/(6+3) 
p（纹理清晰|坏瓜）= (1+1)/(4+3)   
p（色泽淡白|坏瓜）= (0+1)/(4+3)  
p（鼓声沉闷|坏瓜) = (1+1)/(4+3)  

7 sklearn API

sklearn.naive_bayes.MultinomialNB()
estimator.fit(x_train, y_train)
y_predict = estimator.predict(x_test)

8 sklearn 示例

示例：用朴素贝叶斯算法对鸢尾花的分类

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
# 1）获取数据
news =load_iris()
# 2）划分数据集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(news.data, news.target)
# 3）特征工程：不用做标准化
# 4）朴素贝叶斯算法预估器流程
estimator = MultinomialNB()
estimator.fit(x_train, y_train)
# 5）模型评估
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)
# 6）预测
index=estimator.predict([[2,2,3,1]])
print("预测:\n",index,news.target_names,news.target_names[index])

9 作业

贝叶斯实现葡萄酒分类

九 决策树-分类

1 概念

1、决策节点
通过条件判断而进行分支选择的节点。如：将某个样本中的属性值(特征值)与决策节点上的值进行比较，从而判断它的流向。

2、叶子节点
没有子节点的节点，表示最终的决策结果。

3、决策树的深度
所有节点的最大层次数。

决策树具有一定的层次结构，根节点的层次数定为0，从下面开始每一层子节点层次数增加

4、决策树优点：

​ 可视化 - 可解释能力-对算力要求低

5、 决策树缺点：

​ 容易产生过拟合，所以不要把深度调整太大了。

	是动物	会飞	有羽毛
1麻雀	1	1	1
2蝙蝠	1	1	0
3飞机	0	1	0
4熊猫	1	0	0

是否为动物

	是动物	会飞	有羽毛
1麻雀	1	1	1
2蝙蝠	1	1	0
4熊猫	1	0	0

是否会飞

	是动物	会飞	有羽毛
1麻雀	1	1	1
2蝙蝠	1	1	0

是否有羽毛

	是动物	会飞	有羽毛
1麻雀	1	1	1

2 基于信息增益决策树的建立

信息增益决策树倾向于选择取值较多的属性，在有些情况下这类属性可能不会提供太多有价值的信息，算法只能对描述属性为离散型属性的数据集构造决策树。

根据以下信息构建一棵预测是否贷款的决策树。我们可以看到有4个影响因素：职业，年龄，收入和学历。

	职业	年龄	收入	学历	是否贷款
1	工人	36	5500	高中	否
2	工人	42	2800	初中	是
3	白领	45	3300	小学	是
4	白领	25	10000	本科	是
5	白领	32	8000	硕士	否
6	白领	28	13000	博士	是

(1) 信息熵

信息熵描述的是不确定性。信息熵越大，不确定性越大。信息熵的值越小，则D的纯度越高。

假设样本集合D共有N类，第k类样本所占比例为
，则D的信息熵为

(2) 信息增益

信息增益是一个统计量，用来描述一个属性区分数据样本的能力。信息增益越大，那么决策树就会越简洁。这里信息增益的程度用信息熵的变化程度来衡量, 信息增益公式：
。

(3) 信息增益决策树建立步骤

第一步,计算根节点的信息熵

上表根据是否贷款把样本分成2类样本，"是"占4/6=2/3, "否"占2/6=1/3,

所以

第二步,计算属性的信息增益

<1> "职业"属性的信息增益

在职业中，工人占1/3, 工人中，是否代款各占1/2, 所以有
,

在职业中，白领占2/3, 白领中，是贷款占3/4, 不贷款占1/4, 所以有

所以有

最后得到职业属性的信息增益为：

<2>" 年龄"属性的信息增益（以35岁为界）

<3> "收入"属性的信息增益（以10000为界,大于等于10000为一类）

<4> "学历"属性的信息增益（以高中为界, 大于等于高中的为一类）

注意:  以上年龄使用35为界，收入使用10000为界，学历使用高中为界，实计API使用中，会有一个参数"深度"， 属性中具体以多少为界会被根据深度调整。

第三步, 划分属性

对比属性信息增益发现，"收入"和"学历"相等，并且是最高的，所以我们就可以选择"学历"或"收入"作为第一个

决策树的节点， 接下来我们继续重复1，2的做法继续寻找合适的属性节点

3 基于基尼指数决策树的建立(了解)

基尼指数（Gini Index）是决策树算法中用于评估数据集纯度的一种度量，基尼指数衡量的是数据集的不纯度，或者说分类的不确定性。在构建决策树时，基尼指数被用来决定如何对数据集进行最优划分，以减少不纯度。

基尼指数的计算

对于一个二分类问题，如果一个节点包含的样本属于正类的概率是 §，则属于负类的概率是 (1-p)。那么，这个节点的基尼指数 (Gini§) 定义为：

$Gini§ = 1 - p^2 - (1-p)^2 = 2p(1-p) $

对于多分类问题，如果一个节点包含的样本属于第 k 类的概率是 $p_k$，则节点的基尼指数定义为：

$ Gini§ = 1 - \sum_{k=1}^{K} p_k^2 $

基尼指数的意义

• 当一个节点的所有样本都属于同一类别时，基尼指数为 0，表示纯度最高。
• 当一个节点的样本均匀分布在所有类别时，基尼指数最大，表示纯度最低。

决策树中的应用

在构建决策树时，我们希望每个内部节点的子节点能更纯，即基尼指数更小。因此，选择分割特征和分割点的目标是使子节点的平均基尼指数最小化。具体来说，对于一个特征，我们计算其所有可能的分割点对应的子节点的加权平均基尼指数，然后选择最小化这个值的分割点。这个过程会在所有特征中重复，直到找到最佳的分割特征和分割点。

例如，考虑一个数据集 (D)，其中包含 (N) 个样本，特征 (A) 将数据集分割为 $|D_1|$和 $|D_2|$ ，则特征 (A) 的基尼指数为：

$ Gini_A = \frac{|D_1|}{|D|} Gini(D_1) + \frac{|D_2|}{|D|} Gini(D_2) $

其中 $|D_1|$和 $|D_2|$ 分别是子集 $D_1$ 和 $D_2$ 中的样本数量。

通过这样的方式**，决策树算法逐步构建一棵树，每一层的节点都尽可能地减少基尼指数，最终达到对数据集的有效分类。**

案例:

首先工资有两个取值，分别是0和1。当工资=1时，有3个样本。

所以：

同时，在这三个样本中，工作都是好。

所以：

就有了加号左边的式子：

同理，当工资=0时，有5个样本，在这五个样本中，工作有3个是不好，2个是好。

就有了加号右边的式子：

同理，可得压力的基尼指数如下：

平台的基尼指数如下：

在计算时，工资和平台的计算方式有明显的不同。因为工资只有两个取值0和1，而平台有三个取值0,1,2。所以在计算时，需要将平台的每一个取值都单独进行计算。比如：当平台=0时，将数据集分为两部分，第一部分是平台=0，第二部分是平台!=0(分母是5的原因)。

根据基尼指数最小准则， 我们优先选择工资或者平台=0作为D的第一特征。

我们选择工资作为第一特征，那么当工资=1时，工作=好，无需继续划分。当工资=0时，需要继续划分。

当工资=0时，继续计算基尼指数：

当平台=0时，基尼指数=0，可以优先选择。

同时，当平台=0时，工作都是好，无需继续划分，当平台=1,2时，工作都是不好，也无需继续划分。直接把1,2放到树的一个结点就可以。

4 sklearn API

class sklearn.tree.DecisionTreeClassifier(....)
参数：
criterion "gini" "entropy” 默认为="gini" 当criterion取值为"gini"时采用 基尼不纯度（Gini impurity）算法构造决策树，当criterion取值为"entropy”时采用信息增益（ information gain）算法构造决策树.
max_depth	int, 默认为=None  树的最大深度# 可视化决策树
function sklearn.tree.export_graphviz(estimator, out_file="iris_tree.dot", feature_names=iris.feature_names)
参数：estimator决策树预估器out_file生成的文档feature_names节点特征属性名
功能:把生成的文档打开，复制出内容粘贴到"http://webgraphviz.com/"中，点击"generate Graph"会生成一个树型的决策树图

5 示例

示例1：鸢尾花分类

用决策树对鸢尾花进行分类

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, export_graphviz# 1）获取数据集
iris = load_iris()# 2）划分数据集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, random_state=22)#3）标准化
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)# 4）决策树预估器
estimator = DecisionTreeClassifier(criterion="entropy")estimator.fit(x_train, y_train)# 5）模型评估，计算准确率
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)# 6）预测
index=estimator.predict([[2,2,3,1]])
print("预测:\n",index,iris.target_names,iris.target_names[index])# 可视化决策树
export_graphviz(estimator, out_file="iris_tree.dot", feature_names=iris.feature_names)

准确率为：0.8947368421052632

把文件"iris_tree.dot"内容粘贴到"http://webgraphviz.com/"点击"generate Graph"决策树图

示例2：坦尼克号乘客生存

import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, export_graphviz
# 1、获取数据
titanic = pd.read_csv("src/titanic/titanic.csv")
titanic.head()
# 筛选特征值和目标值
x = titanic[["pclass", "age", "sex"]]
y = titanic["survived"]#2、数据处理
# 1）缺失值处理， 因为其中age有缺失值。
x["age"].fillna(x["age"].mean(), inplace=True)# 2) 转换成字典， 因为其中数据必须为数字才能进行决策树，所在先转成字典，后面又字典特征抽取，这样之后的数据就会是数字了, 鸢尾花的数据本来就全部是数字，所以不需要这一步。
"""
x.to_dict(orient="records") 这个方法通常用于 Pandas DataFrame 对象，用来将 DataFrame 转换为一个列表，其中列表的每一个元素是一个字典，对应于 DataFrame 中的一行记录。字典的键是 DataFrame 的列名，值则是该行中对应的列值。
假设你有一个如下所示的 DataFrame x:A  B  C
0  1  4  7
1  2  5  8
2  3  6  9
执行 x.to_dict(orient="records")，你会得到这样的输出：
[{'A': 1, 'B': 4, 'C': 7},{'A': 2, 'B': 5, 'C': 8},{'A': 3, 'B': 6, 'C': 9}
]
"""
x = x.to_dict(orient="records")
# 3)、数据集划分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=22)
# 4)、字典特征抽取
transfer = DictVectorizer()
x_train = transfer.fit_transform(x_train) #稀疏矩阵
x_test = transfer.transform(x_test)# 3）决策树预估器
estimator = DecisionTreeClassifier(criterion="entropy", max_depth=8)
estimator.fit(x_train, y_train)# 4）模型评估
# 方法1：直接比对真实值和预测值
y_predict = estimator.predict(x_test)
print("y_predict:\n", y_predict)
print("直接比对真实值和预测值:\n", y_test == y_predict)# 方法2：计算准确率
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)# 6）预测
x_test = transfer.transform([{'pclass': '1rd', 'age': 22.0, 'sex': 'female'}])
index=estimator.predict(x_test)
print("预测1:\n",index)#[1]  头等舱的就可以活下来
x_test = transfer.transform([{'pclass': '3rd', 'age': 22.0, 'sex': 'female'}])
index=estimator.predict(x_test)
print("预测2:\n",index)#[0]  3等舱的活不下来# 可视化决策树
export_graphviz(estimator, out_file="titanic_tree.dot", feature_names=transfer.get_feature_names_out())

6 作业：

葡萄酒分类

加载并返回葡萄酒数据集, 对葡萄酒进行分类