一、关联规则算法概述

关联规则挖掘是数据挖掘中的一个重要任务，用于发现数据集中不同项之间的关联关系。

二、Apriori算法

1. 原理

   • 频繁项集生成：Apriori算法基于一个先验原理，即如果一个项集是频繁的，那么它的所有子集也是频繁的；反之，如果一个项集是非频繁的，那么它的所有超集也是非频繁的。首先，扫描数据集，统计每个单项（1 - 项集）的出现次数，找出满足最小支持度阈值的频繁1 - 项集。然后，通过频繁$k-1$ - 项集来生成候选$k$ - 项集，再扫描数据集计算候选$k$ - 项集的支持度，筛选出频繁$k$ - 项集。这个过程不断迭代，直到不能生成新的频繁项集为止。
   • 关联规则生成：对于每个频繁项集$L$，生成所有可能的非空子集。对于每个非空子集$A$，计算关联规则$A\Rightarrow B$（其中$B=L-A$）的置信度，置信度计算公式为：
     $$Confidence(A\Rightarrow B)=\frac{Support(A\cup B)}{Support(A)}$$
     只保留满足最小置信度阈值的关联规则。

2. 应用场景

   • 超市购物篮分析。例如，分析顾客购买商品的行为，发现“购买牛奶和面包的顾客也经常购买鸡蛋”这样的关联规则，用于商品陈列优化和促销策略制定。

3. 优点

   • 简单易懂，是关联规则挖掘的经典算法。原理和实现相对直观，容易理解和应用。
   • 能够有效地减少候选项集的数量。通过先验原理，避免了对大量不可能是频繁项集的候选项集进行计算，提高了效率。

4. 缺点

   • 在生成频繁项集时需要多次扫描数据集。当数据集很大时，频繁的I/O操作会导致性能下降。
   • 可能会生成大量的候选项集，尤其是当最小支持度阈值设置较低时，计算和存储这些候选项集会消耗大量的资源。

三、FP - Growth算法

1. 原理

   • 构建FP - Tree：FP - Growth（频繁模式增长）算法首先构建一棵FP - Tree（频繁模式树）。扫描数据集一次，统计每个项的出现频率，按照频率降序排列所有项。然后再次扫描数据集，将每个事务中的项按照排好的顺序插入FP - Tree中。在插入过程中，如果树中已经存在当前项的路径，则更新路径上节点的计数；否则，创建新的分支。
   • 挖掘频繁项集：从FP - Tree的头表（存储每个项及其出现次数和指向树中第一个相同项的指针）开始，通过递归的方式挖掘频繁项集。对于每个项，找到它在FP - Tree中的所有路径，根据路径构建条件模式基，然后从条件模式基构建条件FP - Tree，在条件FP - Tree上继续挖掘频繁项集。这个过程类似于FP - Tree的构建和挖掘，直到不能挖掘出新的频繁项集为止。

2. 应用场景

   • 同样适用于购物篮分析，能够更高效地处理大规模数据集，挖掘商品之间的关联关系。例如在大型连锁超市的销售数据挖掘中，发现不同商品类别之间的关联。

3. 优点

   • 只需要扫描数据集两次，相比Apriori算法大大减少了I/O开销。一次用于构建FP - Tree，另一次用于挖掘频繁项集（在挖掘过程中通过条件FP - Tree避免了对原始数据集的多次扫描）。
   • 对于挖掘长频繁模式和密集数据集更有效。它能够利用FP - Tree的结构，快速地找到频繁项集，不会像Apriori算法那样生成大量的候选项集。

4. 缺点

   • 构建FP - Tree需要占用大量的内存空间，尤其是当数据集很大或者数据项很多时，内存消耗可能会成为瓶颈。
   • 算法实现相对复杂，理解和实现FP - Tree的构建和挖掘过程需要一定的技术难度。

四、Eclat算法

1. 原理

   • Eclat算法基于集合的交集运算来挖掘频繁项集。它使用垂直数据表示，即将每个项的事务标识符（TID）列表存储起来。对于两个项集$A$和$B$，它们的交集的事务标识符列表就是同时包含$A$和$B$的事务集合。
   • 频繁项集的支持度计算方式为：
     $$Support(A)=\frac{|TID(A)|}{|D|}$$
     其中$TID(A)$是项集$A$的事务标识符列表，$|D|$是数据集$D$的事务总数。通过递归地计算项集的交集来生成频繁项集。从单个项开始，计算它们之间的交集和支持度，找到频繁1 - 项集。然后通过频繁$k-1$ - 项集之间的交集来生成候选$k$ - 项集，计算支持度，筛选出频繁$k$ - 项集，直到不能生成新的频繁项集为止。

2. 应用场景

   • 在市场调查数据挖掘中，用于分析消费者对不同产品属性的组合偏好。例如，分析消费者对手机品牌、颜色、存储容量等属性组合的偏好，找出频繁出现的属性组合关联。

3. 优点

   • 采用垂直数据表示和集合交集运算，在某些情况下可以更高效地计算频繁项集。特别是当数据集的事务长度较短或者支持度阈值较高时，能够快速地计算出频繁项集。
   • 可以方便地并行化计算。由于基于集合的交集运算，不同的项集之间的计算相对独立，可以利用并行计算资源来加速挖掘过程。

4. 缺点

   • 当数据集的事务长度较长或者支持度阈值较低时，计算项集的交集会导致大量的中间结果，需要大量的存储空间和计算时间。
   • 对于稀疏数据集，性能可能会受到影响，因为需要处理大量的事务标识符列表和交集运算。

五、举例说明

假设我们有一个小型超市的购物篮数据集如下：

购物篮编号	购买商品
1	牛奶、面包、鸡蛋
2	牛奶、面包
3	面包、鸡蛋、果汁
4	牛奶、鸡蛋
5	牛奶、面包、果汁

1. Apriori算法示例
   • 频繁项集生成：
     • 首先计算1 - 项集的支持度，假设最小支持度阈值为$0.4$。“牛奶”出现了4次，支持度为$\frac{4}{5}=0.8$；“面包”出现了4次，支持度为$0.8$；“鸡蛋”出现了3次，支持度为$0.6$；“果汁”出现了2次，支持度为$0.4$。所以频繁1 - 项集为{牛奶、面包、鸡蛋、果汁}。
     • 然后生成候选2 - 项集：{牛奶、面包}，{牛奶、鸡蛋}，{牛奶、果汁}，{面包、鸡蛋}，{面包、果汁}，{鸡蛋、果汁}。计算它们的支持度，例如{牛奶、面包}出现了3次，支持度为$\frac{3}{5}=0.6$。经过筛选，频繁2 - 项集为{牛奶、面包}，{牛奶、鸡蛋}，{面包、鸡蛋}，{牛奶、果汁}。
     • 接着生成候选3 - 项集：{牛奶、面包、鸡蛋}，{牛奶、面包、果汁}，{牛奶、鸡蛋、果汁}，{面包、鸡蛋、果汁}。计算支持度后，发现只有{牛奶、面包、鸡蛋}的支持度为$\frac{2}{5}=0.4$满足阈值，是频繁3 - 项集。
   • 关联规则生成：
     • 对于频繁3 - 项集{牛奶、面包、鸡蛋}，生成非空子集：{牛奶}，{面包}，{鸡蛋}，{牛奶、面包}，{牛奶、鸡蛋}，{面包、鸡蛋}。计算关联规则的置信度，例如对于规则{牛奶、面包}$\Rightarrow${鸡蛋}，置信度为 S u p p o r t ( { 牛奶、面包、鸡蛋 } ) S u p p o r t ( { 牛奶、面包 } ) = 0.4 0.6 = 2 3 \frac{Support(\{牛奶、面包、鸡蛋\})}{Support(\{牛奶、面包\})}=\frac{0.4}{0.6}=\frac{2}{3} Support({牛奶、面包})Support({牛奶、面包、鸡蛋})​=0.60.4​=32​。根据最小置信度阈值（假设为$0.6$），保留满足条件的关联规则。
2. FP - Growth算法示例
   • 构建FP - Tree：
     • 首先统计每个项的出现次数，按照出现次数降序排列为：牛奶（4次）、面包（4次）、鸡蛋（3次）、果汁（2次）。
     • 构建FP - Tree，对于购物篮1（牛奶、面包、鸡蛋），先插入牛奶，然后在牛奶节点下插入面包，在面包节点下插入鸡蛋。以此类推，构建完整的FP - Tree。
   • 挖掘频繁项集：
     • 从FP - Tree的头表开始，对于“果汁”，找到它在树中的路径，构建条件模式基，然后从条件模式基构建条件FP - Tree，挖掘包含“果汁”的频繁项集。同样地，对其他项进行挖掘，最终得到所有的频繁项集。
3. Eclat算法示例
   • 垂直数据表示：
     • 牛奶的TID列表为{1,2,4,5}，面包的TID列表为{1,2,3,5}，鸡蛋的TID列表为{1,3,4}，果汁的TID列表为{3,5}。
   • 频繁项集生成：
     • 计算1 - 项集的支持度，方法同Apriori算法。频繁1 - 项集为{牛奶、面包、鸡蛋、果汁}。
     • 计算2 - 项集的交集和支持度，例如牛奶和面包的交集TID列表为{1,2,5}，支持度为$\frac{3}{5}=0.6$。经过筛选得到频繁2 - 项集，然后继续生成3 - 项集并计算支持度，以此类推，挖掘出所有频繁项集。