黄小宁
【摘要】自有射线概念后的2300年里一直无人能知有长度不同的射线、无人能知有互不≌的射线，从而使数学一直有几何“常识”：任何射线都没有长度差别。保距变换和≌图概念使人能一下子看到有长度不同的射线。
变量x所取各数也均由x代表，x代表其变域内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，｛x｝中变量x的变域是A。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+=｛x≥0｝，这里的x≥0不是表示x可取一切非负数而只是表示x可取R一切非负数。其余类推。数集R可几何化为R数轴。
h定理：点（数）集A=｛x｝（B=｛y｝）任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是|△x|（|△y|），A≌B的必要条件是|△x|=|△y|即|△y|与|△x|是同一距离变量。
证：A各元x保距变为y=y（x）生成B=｛y｝≌A，距离|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即|△y|与|△x|是同一变量。证毕。
将与n∈N最近的自然数k称为与n相邻的自然数，k是n的“邻居”。A={x}={0，1}任两异元的距离|△x|只能取一个数：1。B={x}={0，1，2}中相邻（不相邻）的两数之间的距离|△x|=1（=2）。这说明B任两异元的距离|△x|(x的变域是B) 只能取两个数：1与2。可见|△x|的变域是随着x的变域的不同而不同的。变域不同的两|△x|不是同一距离变量。
R轴有子部射线。射线R+={x≥0}⊂R轴也有子部射线V={x≥1}（R+中点x≥1的全体）⊂R+。
V=｛x≥1｝中x的变域是V，V任两异元的距离|△x|中的x的变域是V⊂R+而R+=｛x≥0｝任两异元的距离|△x|中的x的变域是R+——说明这两|△x|不是同一距离变量，据h定理V不≌R+。据≌图概念射线V⊂R+不≌R+说明V与R+形状相同大小不同即长度不同。读者画出这两射线的图可一眼看出包含V的R+是比V长的射线。同理可证包含射线R+⊂R轴的R轴与射线R+形状相同大小不同即长度不同。
本文实际上是黄小宁的长文《直线公理使初等数学一直将各异直线误为同一线——数集相等定义凸显初数一直将各异假R误为R》的一小部分。
参考文献
黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
