原来机器学习那么简单—

原来机器学习那么简单——K近邻回归

引言：
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一、什么是K近邻回归？

K近邻回归（K-Nearest Neighbors Regression，简称KNN回归）是一种简单直观的机器学习算法。KNN回归通过寻找样本空间中与目标点最接近的K个邻居，利用这些邻居的平均值或加权平均值来预测目标点的值。KNN回归属于非参数模型，因为它不对数据的分布做出假设，也不需要训练过程。

二、K近邻回归的原理

KNN回归的核心思想非常直观，即“相似的样本具有相似的输出”。具体步骤如下：

计算距离：对于待预测的样本点，计算其与训练集中每一个样本点之间的距离。常用的距离度量包括欧氏距离（Euclidean Distance）、曼哈顿距离（Manhattan Distance）等。

欧氏距离的计算公式为：
$d(x_i, x_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} (x_{i,k} - x_{j,k})^2}$
其中，$ x_i $ 和 $ x_j $ 分别是两个样本点的特征向量，$ n $ 是特征的维数。
选择K个邻居：根据计算得到的距离，选择距离待预测样本点最近的K个邻居。
计算预测值：根据选中的K个邻居的输出值，计算待预测样本点的输出值。常用的方法包括简单平均和加权平均。如果是简单平均，则预测值为K个邻居的输出值的算术平均：

$\hat{y} = \frac{1}{K} \sum_{i=1}^{K} y_i$
其中，$ y_i $ 是第 $i$ 个邻居的输出值。

如果采用加权平均，则预测值为K个邻居的加权平均值，权重通常为邻居与待预测样本点距离的倒数：

$\hat{y} = \frac{\sum_{i=1}^{K} \frac{1}{d(x, x_i)} y_i}{\sum_{i=1}^{K} \frac{1}{d(x, x_i)}}$
其中，$ d(x, x_i) $ 是待预测样本点与第 $ i $ 个邻居的距离。

三、K近邻回归的优缺点

优点：

简单直观：算法思想简单，容易理解和实现。
无模型假设：KNN回归不对数据的分布做任何假设，适用于各种数据分布。
高灵活性：由于无需训练过程，KNN回归可以处理在线学习问题，也可以随时加入新的数据。

缺点：

计算复杂度高：对于大规模数据集，计算每个样本点的距离代价较高，影响预测效率。
维度灾难：随着特征维数的增加，样本之间的距离变得越来越难以区分，导致预测效果下降。
对异常值敏感：KNN回归直接依赖于邻居的输出值，如果邻居中存在异常值，可能会严重影响预测结果。

四、案例分析

在这一部分，我们还是使用加州房价数据集来演示如何应用K近邻回归算法进行预测。加州房价数据集包含了加州的街区信息，每个街区有多项特征，包括人口、收入、房屋年龄等。目标是根据这些特征预测该街区的房屋中位数价格。

数据加载与预处理：
- 加载加州房价数据集并进行标准化处理，确保所有特征都在相同的尺度上。
- 将数据集划分为训练集和测试集，比例为8:2。
模型训练：
- 使用KNeighborsRegressor创建一个K近邻回归模型，选择K=5，即考虑最近的5个邻居。
- 用训练集的数据来训练模型。
模型预测：
- 利用训练好的模型对测试集进行预测，并计算均方误差（MSE）作为模型性能的评估指标。

代码实现：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 加载加州房价数据集
california = fetch_california_housing()
X = california.data
y = california.target# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建K近邻回归模型并训练
knn = KNeighborsRegressor(n_neighbors=5)
knn.fit(X_train, y_train)# 预测测试集
y_pred = knn.predict(X_test)# 计算均方误差
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"测试集的均方误差: {mse:.2f}")# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(y_test, y_pred, edgecolor='k', alpha=0.7)
plt.plot([min(y_test), max(y_test)], [min(y_test), max(y_test)], 'r--', lw=3)
plt.xlabel("真实房价")
plt.ylabel("预测房价")
plt.title("K近邻回归预测结果")
plt.show()