数据包络分析（Data Envelopment Analysis, DEA）详解与Python代码示例

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一、数据包络分析（DEA）详解

数据包络分析（DEA）是一种非参数的评价方法，主要用于评估具有多个投入和多个产出的决策单元（Decision Making Units, DMUs）的相对效率。DEA方法最初由A.Charnes和W.W.Cooper在1978年提出，现已广泛应用于生产管理、金融分析、教育评估等多个领域。

DEA的核心思想是通过比较不同DMUs的输入和输出数据，确定一个效率前沿（Efficiency Frontier），即所有DMUs中效率最高的集合。位于效率前沿上的DMUs被认为是相对有效的，而位于效率前沿下方的DMUs则被认为是相对无效的。DEA方法可以帮助管理者识别出效率低下的DMUs，并为其改进提供方向。

DEA模型通常分为两类：CRS（Constant Returns to Scale）模型和VRS（Variable Returns to Scale）模型。CRS模型假设DMUs的规模效率是恒定的，即输入和输出之间存在线性关系；而VRS模型则假设DMUs的规模效率是可变的，即输入和输出之间存在非线性关系。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的模型。

二、Python代码示例

以下是一个使用Python实现DEA模型的简单示例。这里我们采用CRS模型（也称为CCR模型），并使用Gurobi作为优化求解器。请注意，为了运行此代码，您需要安装Gurobi和相应的Python库。

import gurobipy as gp
import pandas as pd# 假设我们有三个DMUs（A, B, C），每个DMUs有两个输入（x1, x2）和两个输出（y1, y2）
inputs = pd.DataFrame({'DMU': ['A', 'B', 'C'],'x1': [2, 1, 3],'x2': [3, 2, 4]
})
outputs = pd.DataFrame({'DMU': ['A', 'B', 'C'],'y1': [4, 3, 6],'y2': [5, 4, 7]
})# 合并输入和输出数据
data = pd.merge(inputs, outputs, on='DMU')# 设置Gurobi模型
m = gp.Model('DEA_CCR')# 定义变量
lambdas = m.addVars(data.shape[0], name='lambda')
OE = m.addVar(name='OE', lb=0, ub=1, vtype=gp.GRB.CONTINUOUS)
s_neg = m.addVars(data.shape[1]-2, name='s_neg')  # 输入的松弛变量
s_pos = m.addVars(2, name='s_pos')  # 输出的松弛变量# 设置目标函数（最大化OE）
m.setObjective(OE, gp.GRB.MAXIMIZE)# 设置约束条件
for i in range(data.shape[0]):if i == 0:  # 对于第一个DMU，设置OE为其效率值m.addConstr(OE * data.loc[i, 'x1':] <= gp.quicksum(lambdas[j] * data.loc[j, 'x1':] for j in range(data.shape[0])))m.addConstr(data.loc[i, 'y1':] >= gp.quicksum(lambdas[j] * data.loc[j, 'y1':] for j in range(data.shape[0])) - s_pos)else:  # 对于其他DMU，设置其权重为非负m.addConstr(lambdas[i] >= 0)# 设置松弛变量为非负
for var in s_neg:m.addConstr(var >= 0)
for var in s_pos:m.addConstr(var >= 0)# 求解模型
m.optimize()# 输出结果
for v in m.getVars():print(v.varName, v.x)

注释：