在K近邻（K-Nearest Neighbors, KNN）算法中，距离度量方式用于计算样本之间的相似性或距离，这是选择“邻居”的基础。常见的距离度量方式有以下几种：

1. 欧氏距离（Euclidean Distance）

欧氏距离是最常用的度量方式之一，用于计算两个样本点之间的“直线”距离。适用于连续数值型特征。

公式为：
$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$
其中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别是两个样本 $x$ 和 $y$ 在第 $i$ 个特征上的取值，$n$ 是特征的总数。

示例：
若有两个二维点 $x=(1,2)$ 和 $y=(4,6)$，则它们的欧氏距离为：
$$d(x,y)=\sqrt{(1-4{)}^2+(2-6{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）

曼哈顿距离也称为“绝对值距离”或“城市街区距离”，它度量的是两点在各个坐标轴方向上的距离总和，适合网格状布局的数据。

公式为：
$$d(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$$

示例：
对同样的点 $x=(1,2)$ 和 $y=(4,6)$，曼哈顿距离为：
$$d(x,y)=|1-4|+|2-6|=3+4=7$$

3. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

闵可夫斯基距离是欧氏距离和曼哈顿距离的泛化形式，通过改变参数 $p$ 可以得到不同的距离度量方式。当 $p=1$ 时，得到曼哈顿距离；当 $p=2$ 时，得到欧氏距离。

公式为：
$$d(x,y)={\left(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

4. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

切比雪夫距离用于度量任意两个点在某一维度上的最大差值。它适用于某些需要考虑最远距离的情况。

公式为：
$$d(x,y)=\underset{i}{\max }|x_i-y_i|$$

示例：
同样对于 $x=(1,2)$ 和 $y=(4,6)$，切比雪夫距离为：
$$d(x,y)=\max (|1-4|,|2-6|)=\max (3,4)=4$$

5. 马氏距离（Mahalanobis Distance）

马氏距离是一种考虑了样本分布的距离度量，它通过协方差矩阵来衡量样本的相关性。适合用于处理有相关性的多维特征数据，常用于异常检测。

公式为：
$$d(x,y)=\sqrt{(x-y{)}^T{S}^{-1}(x-y)}$$
其中，$S$ 是特征的协方差矩阵，$S^{-1}$ 是协方差矩阵的逆矩阵。

示例：
马氏距离特别适合应用在金融领域，比如股票的价格波动，它们的波动率和协同关系会影响马氏距离的结果。

6. 余弦相似度（Cosine Similarity）

余弦相似度用于衡量两个向量之间的角度，而非距离。适用于高维度稀疏向量（如文本向量化）。它的值在 $[-1,1]$ 之间，值越接近 1，说明两个向量越相似。

公式为：
$$\text{Cosine Similarity}=\frac{x\cdot y}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$$
其中，$x\cdot y$ 是两个向量的点积，$\Vert x\Vert$ 和 $\Vert y\Vert$ 分别是向量的模。

7. 汉明距离（Hamming Distance）

汉明距离用于衡量两个等长字符串（或二进制向量）之间不同字符的个数，常用于二值特征或者分类问题。

公式为：
$$d(x,y)=\sum _{i=1}^{n}1(x_i\ne y_i)$$
其中 $1(\cdot )$ 表示指示函数，当条件为真时取 1，假时取 0。

示例：
对于二进制字符串 $x=10101$ 和 $y=10011$，它们的汉明距离为：
$$d(x,y)=1+0+1+0+1=3$$

8. 杰卡德距离（Jaccard Distance）

杰卡德距离用于衡量两个集合之间的相似度。它是基于集合交集和并集的比率，常用于比较文本、集合等离散数据。

杰卡德相似度的公式为：
$$\text{Jaccard Similarity}=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$
杰卡德距离是相似度的补数：
$$d(A,B)=1-\text{Jaccard Similarity}$$

示例：
对于两个集合 A = { 1 , 2 , 3 } A = \{1, 2, 3\} A={1,2,3} 和 B = { 2 , 3 , 4 } B = \{2, 3, 4\} B={2,3,4}，它们的杰卡德相似度为：
Jaccard Similarity = ∣ { 2 , 3 } ∣ ∣ { 1 , 2 , 3 , 4 } ∣ = 2 4 = 0.5 \text{Jaccard Similarity} = \frac{|\{2, 3\}|}{|\{1, 2, 3, 4\}|} = \frac{2}{4} = 0.5 Jaccard Similarity=∣{1,2,3,4}∣∣{2,3}∣​=42​=0.5
所以杰卡德距离为：
$$d(A,B)=1-0.5=0.5$$

9. 布雷叶距离（Bray-Curtis Distance）

布雷叶距离用于衡量两个样本之间的差异，常用于生态学和环境科学中。其值范围在 $[0,1]$ 之间。

公式为：
$$d(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i|}{{\sum }_{i=1}^n|x_i+y_i|}$$

示例：
对于两个样本 $x=(1,2)$ 和 $y=(3,4)$，它们的布雷叶距离为：
$$d(x,y)=\frac{|1-3|+|2-4|}{|1+3|+|2+4|}=\frac{2+2}{4+6}=\frac{4}{10}=0.4$$

10. 马氏重合距离（Mahalanobis–Ovchinnikov Distance）

这是马氏距离的扩展，考虑了不同类别的重合性。它广泛用于带有类标签的样本分类问题中。

11. 地球移动距离（Earth Mover’s Distance, EMD）

地球移动距离用于度量两个分布之间的最小“代价”，通过计算将一个分布转化为另一个分布的最小工作量，常用于图像处理和计算机视觉中。

公式通过求解最优传输问题（Optimal Transport Problem）得出。

12. 动态时间规整距离（Dynamic Time Warping, DTW）

DTW 距离用于衡量两个时间序列之间的相似性，允许时间序列进行非线性对齐。广泛用于语音识别和时间序列分析。

13. Canberra距离

Canberra距离在比较两个向量时，通过标准化元素间的差异，能够更好地处理小值和大值。

公式为：
$$d(x,y)=\sum _{i=1}^n\frac{|x_i-y_i|}{|x_i|+|y_i|}$$

14. 加权距离（Weighted Distance）

有时候为了体现某些特征对距离计算的重要性，可以给每个特征赋予不同的权重。加权欧氏距离的公式为：
$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n{w}_i(x_i-y_i{)}^2}$$
其中 $w_i$ 是第 $i$ 个特征的权重。

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这些距离度量方法适用于不同的数据类型和问题场景。可以根据具体的应用选择合适的度量方式。