扩散过程是模拟图像加噪的逆向过程，也就是实现去噪的过程，
加噪是如下图从右到左的过程，称为反向扩散过程，
去噪是从左往右的过程，称为前向扩散过程，

加噪过程如下图，下一时刻的图像是在上一时刻图像的基础上加入噪音生成的，
图中公式的含义： x t x_t xt​表示 t 时刻的图像， ϵ t \epsilon_t ϵt​ 表示 t 时刻生成的随机分布的噪声图像， β t \beta_t βt​表示 t 时刻指定的常数，不同时刻的 β t \beta_t βt​不同，随着时间 t 的递增而增加，但需要注意 β t \beta_t βt​的值始终是比较小的，因为要让图像的数值占较大的比例，

A、将图像 x x x像素值映射到[-1,1]之间

图像加噪不是在原有图像上进行加噪的，而是通过把图片的每个像素的值转换为-1到1之间，比如像素的值是 x x x，则需要经过下面公式的处理 x 255 × 2 − 1 \frac{x}{255}\times2-1 255x​×2−1，转换到范围是-1到1之间，

代码：

def get_transform():class RescaleChannels(object):def __call__(self, sample):return 2 * sample - 1return torchvision.transforms.Compose([torchvision.transforms.ToTensor(), RescaleChannels()])

B、生成一张尺寸相同的噪声图片，像素值服从标准正态分布
ϵ ∼ N ( 0 , 1 ) \epsilon \sim N(0,1) ϵ∼N(0,1)

x = {Tensor:(2, 3, 32, 32)}
noise = torch.randn_like(x)

C、 α \alpha α和 β \beta β
每个时刻的 β t \beta_t βt​都各不相同，0 < β t \beta_t βt​< 1，因为 β t \beta_t βt​是作为权重存在的，且 β 1 < β 2 < β 3 < β T − 1 < β T \beta_1< \beta_2< \beta_3< \beta_{T-1}< \beta_T β1​<β2​<β3​<βT−1​<βT​，

代码：

betas = generate_linear_schedule(args.num_timesteps,args.schedule_low * 1000 / args.num_timesteps,args.schedule_high * 1000 / args.num_timesteps)

β \beta β的取值代码，比如 β 1 \beta_1 β1​取值low， β T \beta_T βT​取值high，

# T:1000 Low/β1: 0.0001 high/βT: 0.02
def generate_linear_schedule(T, low, high):return np.linspace(low, high, T)

α t = 1 − β t \alpha_t=1-\beta_t αt​=1−βt​，

alphas = 1.0 - betas
alphas_cumprod = np.cumprod(alphas)
to_torch = partial(torch.tensor, dtype=torch.float32)
self.registerbuffer("betas", totorch(betas))
self.registerbuffer("alphas", totorch(alphas))
self.register_buffer("alphas_cumprod", to_torch(alphas_cumprod))
self.register_buffer("sqrt_alphas_cumpnod", to_torch(np.sqrt(alphas_cumprod)))
self.register_buffer("sart_one_minus_alphas_cumprod", to_torch(np.sqrt(1 - alphas_cumprod)))
self.registerbuffer("reciprocal sart_alphas", totorch(np.sart(1 / alphas)))
self.register_buffer("remove_noise_coeff", to_torch(betas / np.sqrt(1 - alphas_cumprod)))
self.registerbuffer("siqma"，to_torch(np.sqrt(betas)))

D、任一时刻的图像 x t x_t xt​都可以由原图像 x 0 x_0 x0​直接生成(可以由含 x 0 x_0 x0​的公式直接表示)

x t x_t xt​与 x 0 x_0 x0​的关系： x t = 1 − α t ‾ ϵ + α t ‾ x 0 x_t=\sqrt{1-\overline{\alpha_t}}\epsilon+\sqrt{\overline{\alpha_t}}x_0 xt​=1−αt​​ ​ϵ+αt​​ ​x0​， α t = 1 − β t \alpha_t=1-\beta_t αt​=1−βt​， α t ‾ = α t α t − 1 . . . α 2 α 1 \overline{\alpha_t}=\alpha_t\alpha_{t-1}…\alpha_2\alpha_1 αt​​=αt​αt−1​…α2​α1​

由上式可知， β t \beta_t βt​是常数，则 α t \alpha_t αt​， 1 − α t ‾ \sqrt{1-\overline{\alpha_t}} 1−αt​​ ​， α t ‾ \sqrt{\overline{\alpha_t}} αt​​ ​也是常数， ϵ \epsilon ϵ也是已知的，所以可以直接由 x 0 x_0 x0​生成 x t x_t xt​，

def perturb_x(self, x, t, noise):return (extract(self.sqrt_alphas_cumprod, t, x.shape) * x +extract(self.sqrt_one_minus_alphas_cumprod, t, x.shape) * noise)

def extract(a, t, x_shape):b, *_ = t.shapeout = a.gather(-1, t)return out.reshape(b, *((1,) * (len(x_shape) - 1)))

加噪过程：

加噪过程的公式：

总结：

去噪是加噪的逆过程，由时间T时刻的图像逐渐去噪到时刻为0的图像，
下面介绍一下由时刻为T的图像 x T x_T xT​去噪到时刻为T-1的图像 x T − 1 x_{T-1} xT−1​，输入为时刻为t的图像 x t x_t xt​和时刻t，喂给Unet网络生成 ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ​，其中 θ \theta θ是Unet网络的所有参数，然后由下图中的 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1​的公式即可生成时刻为t-1的图像 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1​，

去噪过程的2个假设:
(1)加噪过程看作马尔可夫链，假设去噪过程也是马尔可夫链，
(2)假设去噪过程是高斯分布，

假设数据集中有100张图片，每张图片的shape是4x4x3，假设每张图片的每个channel的每个像素点都服从正态分布， x t − 1 x_{t-1} xt−1​的正态分布的均值 μ \mu μ 和方差 σ 2 \sigma^2 σ2 只和 x t x_t xt​有关，已知在t时刻的图像，求t-1时刻的图像，

1、因为均值和方差 μ ( x t ) \mu(x_t) μ(xt​)， σ 2 ( x t ) \sigma^2(x_t) σ2(xt​) 无法求出，所以我们决定让网络来帮我们预测均值和方差，
2、因为每一个像素都有自己的分布，都要预测出一个均值和方差，所以网络输出的尺寸需要和图像尺寸一致，所以我们选用 UNet 网络，
3、作者在论文中表示，方差并不会影响结果，所以网络只要预测均值就可以了，也就是说UNet网络输出只需要输出均值就可以了，

我们要求极大似然的最大值，需要对 μ \mu μ和 σ \sigma σ求导，但是对于扩散的过程是不可行的，如下面的公式无法求出，因为 x 1 : x T x_1:x_T x1​:xT​的不同组合所求出的 x 0 x_0 x0​的值也不同，
p ( x 0 ) = ∫ x 1 : x T p ( x 0 ∣ x 1 : x T ) d x 1 : x T p(x_0)=\int_{x_1:x_T}p(x_0|x_1:x_T)d_{x_1:x_T} p(x0​)=∫x1​:xT​​p(x0​∣x1​:xT​)dx1​:xT​​

为了实现对极大似然函数的求导，把对极大似然求导的问题转换为ELBO :Evidence Lower Bound

对ELBO的公式继续进行化简，

首先来看 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1​∣xt​,x0​)表示已知 x 0 x_0 x0​和 x t x_t xt​的情况下推导 x t − 1 x_{t-1} xt−1​，这个公式是可以求解的，如上图公式推导； p θ ( x t − 1 ∣ x t ) p_{\theta}(x_{t-1}|x_t) pθ​(xt−1​∣xt​)需要使用 Unet 预测出该分布的均值，

q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1​∣xt​,x0​)公式的推导如下：

综上可知，UNet是在预测下面的公式，下面的公式中除了 ϵ \epsilon ϵ之外都是已知量，所以UNet网络实际预测的就是 ϵ \epsilon ϵ，

下图是训练阶段的伪代码，第1行和第6行表示第2行到第5行的代码一直在循环，直到模型收敛，
第2行：从数据集中筛选出一张图像，即为 x 0 \bf{x}_0 x0​,
第3行：从0到 T T T的均匀分布中筛选出 t t t，源码中 T T T的范围设为1000，
第4行：从均值为0，方差为1的标准正态分布中采样出 ϵ \epsilon ϵ， ϵ \epsilon ϵ的size和 x 0 \bf{x}_0 x0​的size是相同的，
第5行： x t x_t xt​和从0到 T T T的均匀分布中筛选出的 t t t 喂给Unet，输出 ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ​，和第4行代码采样出的 ϵ \epsilon ϵ， ∣ ∣ ϵ − ϵ θ ( . . . ) ∣ ∣ 2 ||\epsilon-\epsilon_\theta(…)||^2 ∣∣ϵ−ϵθ​(…)∣∣2的均方差作为损失函数，对这个损失函数求梯度进行参数更新，参数是Unet所有参数的集合 θ \theta θ，

下图是推导/采样/生成图片阶段的伪代码，

第1行：从随机分布中采样一个 x T {\bf x}_T xT​，
第2行：遍历从 T T T到1，
第3行：从随机分布中采样一个 z \bf{z} z，
第4行：已知 z \bf{z} z、 α t \alpha_t αt​、 σ t \sigma_t σt​， ϵ θ \epsilon_\theta ϵθ​是Unet网络生成的，就可以得到 x t − 1 {\bf x}_{t-1} xt−1​
循环2-4行代码，

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