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线性感知机分类
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支持向量机
线性感知机（Perceptron）
感知机是线性二值分类器。
注意：什么是线性？线性分割面就是，就是在分割面中，任意两个的连线也在分割面中，这个分割面，就是线性分割面。
f(x,w,b)=sign(wx+b)
wx+b>0, f=1
wx+b<0, f=-1
为什么分割面能写成 wx+b=0？w 一个向量。
对于普通的方程 y=kx+b,那么我们可以写成 kx-y+b=0,写成向量方程就是：
当k=1时，w(1,-1) 如下图知，w 是分割面的法向量。
感知机--目标函数
最小化错误率：
I 函数是：当预测值 f() 与实际值 y 不相等时，I=1，相等是 I=0 。所以求和为错误的样本数。
我们可以转换成后边的函数，sign 函数是：wx+b>0 是 函数值为1，wx+b<=0 时函数值为-1.
那么如果分对：sign 与 y 符号相同，相减为 0，如果分错，sign 与 y 符号相反，那么相减为2 或者 -2 所以需要除以2，就是分错样本数了。
由于sign() 函数不是处处可导，给算法设计带来困难。所以我们换一个容易的策略。
函数 ①
这个函数只统计分错样本，所以如果全分对L=0，如果有分错样本时L>0 (
<0,所以函数前边有个负号）
结论：线性可分时，最小化 L 等价于最小化错误率。
注意：如果不是线性不可分时，这个结论不成立。
如：w1xi+b=0.2 分错
w1xj+b=0.3 分错 L1=0.5
w2xk+b=0.6 分错： L2=0.6
当为 w1 是有两个 样本点分错了错误率为2，L1=0.5 ，但是当为 w2 时 有一个样本点分错了错误率为1， L2=0.6>L1
现在我们要 最小化 函数 ①，那么我对函数① 分别对w 和 b 求偏导。（-xiyi,-yi）
我们用梯度下降法来找函数① 的极值。
w = w + p*y_i*x_i
b = b + p*y_i
是学习率。
算法步骤：
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随机设定：w ，b 的值
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用当前（w，b）轮流对所有的样本点分类，如果分错，更新(w,b) 的，继续。
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重复步骤2直到所有的点都被分对
感知机的不足：
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有无穷多个可行解
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由于感知机是贪婪算法，所以结果依赖初始值和误分点的顺序。
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线性限制（对于线性不可分的特征空间，线性感知机无能为力）
不足 1 不足 3
线性感知机有这些不足，接下来我们看看在支持向量中是怎么弥补的。
支持向量机（Support Vector Machine）
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线性可分：硬间隔SVM
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适用于线性不可分：软间隔SVM
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SVM对偶问题和解的性质
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非线性：Kernel SVM
硬间隔 SVM
图 1 图 2 图 3
看图1，这里有两个分割线，到底哪个好呢？对于新数据（哪个方框）到底应该属于哪一类呢？我看到超平面不同，对新数据的影响不同。
看图2，间隔：分界面到最近样本距离（的两倍）。
我们认为使间隔最大的分界面是最好的分界面，因为间隔最大，将来落在间隔内的新数据更够跟准确的分到所属的类中。
最大间隔分类器是使得间隔宽度最大的线性分类器。
看图3 要求：对正样本wx+b>=1
对负样本wx+b<=-1
原因：由于wx+b>0 那么肯定存在一个非常接近0的ε 使 wx+b>=ε ,两边同时除以 ε 得 wx/ε+b/ε>=1，那么我将w/ε=w,b/ε=b(先的未知数),于是就有wx+b>=1,同理wx+b<=-1
求间隔（margin）：
M 由向量投影公式：投影=向量与投影方向单位向量的内积。
（第二个式子是根据直角三角形计算出来的） 将conθ 带入二式就得到了M的值。
wx+b>=1 , y=1
wx+b<=1 , y=-1 所以：y(wx+b)>=1
我们要最大 
，就等价于最小化
，因为：
，而
是一个单调递增函数，最小化的
也就是最小化 x ，同理最小化化
，优化问题，前边加一个1/2 系数，对优化问题没有影响，添加一个1/2 系数是为了对二次求导有一个2系数相消。
这样就转化为一个关于 w 和 b 的二次规划问题：
软间隔 SVM
感知机是有无穷多个可行解，现在硬间隔SVM 通过最大间隔，有唯一解。那么目前还有什么缺点？对噪音的处理。现在都是要求线性可分，如果存在噪音，那么将会出现震荡。那么我们接下来，看看软间隔ＳＶＭ是怎么解决噪音问题的。
如果存在噪音点。
软间隔ＳＶＭ 通过引入松弛变量ξi，使得错分样本得到惩罚（注意：当还没有找到最优解时，一些非噪音点也会遭到惩罚）。
最小化松弛项，同时最大化间隔。
minimize 
错分样本对应的 ξi>=1,所以：Σiξi>=错误样本个数。
硬间隔 VS 软间隔
硬间隔ＳＶＭ 软间隔ＳＶＭ
拉格朗日函数
为什么要引入拉格朗日函数呢?对于一般函数我们要极值，我们只需求导等于零即可。那么对于带约束的函数求导，我们怎么求他的极值。我们用拉格朗日乘子，将目标函数和约束函数写到一个新函数中，对这个新函数我们求导等于零即可。
优化问题
对每个约束引入拉格朗日乘子 ai,ui 得到：
且 a>=0,u>=0
这个拉个朗函数，根据 α和u 求最大，然后根据：w，b， ξ 求最小。
那么经这转换，最后求出解还是原问题的解吗？
分析：内部最大化：当
不成立，也就是小于 0 ，根据式子
值，α的系数是正数 且 α>=0，那么这时根据 α 求拉格朗日函数的最大值为正无穷。
同理当
不成立时，
且 u>=0 ，拉格朗日函数最大值为正无穷。
当成立时，，α的系数是负数，且α>=0 ,所以只有 α=0 时，拉个朗日函数的最大值为0.
当成立时， ，u 的系数是负数，且u>=0 ,所以只有 u=0 时，拉个朗日函数的最大值为0.
结论： 当
成立时，拉格朗日函数 根据 a,u求得最大值为0，则此在根据w，b,ξ 求最小值，就是原函数的最小值
当 不成立时，，拉格朗日函数 根据 a,u求得最大值为正无穷，则此在根据w，b,ξ 求最小值，没有意义。
图1 图2
原问题就像图1
朗格朗日函数就像图2
拉个朗日的对偶问题：
且ai>=0,ui>=0
对偶函数只是将最大化和最小化交换了一下位置。那么优化对偶函数的解和拉格朗日函数的解是一致的吗？
凸优化是一样的。因为凸规划满足KKD条件。凸规划问题就是：约束是凸集，目标函数是凸函数。
求极值问题，L对 w,b,ξ 求导等于零。
式（1）得到：
，带入L：
需满足式2,3和对偶条件：
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ai>=0
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ui>=0
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C-ai-ui=0
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Σyiai=0
使用ui=C-ai 消掉ui，得到最终的对偶问题：
由于
， 预测函数变为：
求b：满足 0<ai<C 的i 对应的支持向量，解yif(xi)=1得到b
对偶问题有点，只需内积，不需 x 具体值。这样也就可以用核函数了。
KKT 条件
最优化问题，最后变成求KKT条件。只要满足KKT 条件的解，就是原问题的最优解。
非线性SVM
对于线性可分数据，线性SVM表现很好了。
如果训练数据本身存在复杂非线性关系（在给定的特征空间中），很难用线性模型较好的处理。
解决办法：通过一个函数，将原来的特征空间中的样本，映射到高维的特征空间中:
将原来的数据的平方作为第二维。
原始空间中任意形状的两个区域，总是可以在某些高维特征空间中映射成线性可分的区域。
将到原点的距离最为第四维的数据。
核函数：
之前我们讲过，SVM分类器的训练和预测都仅依赖于样本对的内积值 K（xi,xj）=xi^Txj
核函数对应某个特征空间中的内积。
核函数例子：
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线性：
（这就是内积定义，就是映射的还是原来的空间） -
p次多项式：
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高斯核（RBF核）（特征空间是无限维空间，此核可以用来逼近任意复杂的分类面）
（σ 参数需要自己调） -
Sigmoir：
注意：引入Kernel 的同时带来高计算复杂度：
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Kernel SVM 中，支持向量个数随样本数增多。
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Kernel SVM 问题求解至少是n^2 复杂度。（因为我们需要计算每个特性向量与其他特征向量的内积）
最著名的两个工具包
LIBSVM:
http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/libsvm/
SVM Light:
http://www.cs.cornell.edu/People/tj/svm_light/
liblinear-1.93：这个是针对线性可分的数据，做了很多优化，比libsvm-3.17 快很多。
