趋势外推法

趋势外推法主要利用图形识别法和差分法计算，进行模型的基本选择。

一、图形识别法。

这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间 t 为横轴、时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为适宜的模型。
然而，在实际预测过程中，有时由于几种模型接近而无法通过图形直观地确认某种模型，这就必须同时对几种模型进行试算，最后将标准误差最小的模型作为预测模型。

二、差分法

由于模型种类很多，为了根据历史数据正确选择模型，常常利用差分法把原时间序列转换为平稳序列。即利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。这里最常用的是一阶向后差分法。一阶向后差分的定义为：
$y^{'} =y_{t}-y_{t-1}$
一阶向后差分实际上是当时间由 t一1 到 t 时 $y_{t}$ 的增量。

二阶向后差分的定义为：

$y^{''} =y_{t}^{'}-y_{t-1}^{'}=y_{t-1}-2y_{t-1}+y_{t-2}$

k阶向后差分的定义为：

$y_{t}^{k} =y_{t}^{k-1}-y_{t-1}^{k-1}=y_{t}+\sum_{r=1}^{k}(-1)^{r}\binom{k}{r}y_{t-r}$

计算时间序列的差分，并将其与各类模型的差分特点进行比较，就可以选择适宜的模型。

三、判断依据：

标准	模型	判断依据
一次曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=b_{0}+b_{1}t_{1}$	一阶差分	$b_{1}$
二次曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=b_{0}+b_{1}t_{1}+b_{2}t_{2}$	二阶差分	$2b_{2}$
三次曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=b_{0}+b_{1}t_{1}+b_{2}t_{2}+b_{3}t_{3}$	三阶差分	$6b_{3}$
指数曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=ae^{bt}$	一阶差比率	$\frac{y_{t}}{y_{t-1}}=e^{b}$
修正指数曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=a+bc^{t}$	一阶差的一阶比率	$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}-y_{t-2}}=c$
龚伯兹曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=ka^{b^{t}}$	对数一阶差的一阶比率	$\frac{lgy_{t}-lgy_{t-1}}{lgy_{t-1}-lgy_{t-2}}=b$
皮尔曲线	$\hat{y_{t}^{k} }=\frac{L}{1+ae^{-bt}}$	倒数一阶差的一阶比率	$\frac{\frac{1}{y_{t}}-\frac{1}{y_{t-1}}}{\frac{1}{y_{t-1}}-\frac{1}{y_{t-2}}}=e^{-b}$