寻宝

题目描述

在世界的某个区域，有一些分散的神秘岛屿，每个岛屿上都有一种珍稀的资源或者宝藏。国王打算在这些岛屿上建公路，方便运输。

不同岛屿之间，路途距离不同，国王希望你可以规划建公路的方案，如何可以以最短的总公路距离将 所有岛屿联通起来（注意：这是一个无向图）。 

给定一张地图，其中包括了所有的岛屿，以及它们之间的距离。以最小化公路建设长度，确保可以链接到所有岛屿。

输入描述

第一行包含两个整数V 和 E，V代表顶点数，E代表边数 。顶点编号是从1到V。例如：V=2，一个有两个顶点，分别是1和2。

接下来共有 E 行，每行三个整数 v1，v2 和 val，v1 和 v2 为边的起点和终点，val代表边的权值。

输出描述

输出联通所有岛屿的最小路径总距离

输入示例

7 11
1 2 1
1 3 1
1 5 2
2 6 1
2 4 2
2 3 2
3 4 1
4 5 1
5 6 2
5 7 1
6 7 1

输出示例

6

提示信息

数据范围：
2 <= V <= 10000;
1 <= E <= 100000;
0 <= val <= 10000;

如下图，可见将所有的顶点都访问一遍，总距离最低是6.

思路：这是生成最小生成树的经典题目，涉及到了prim算法以及kruskal算法。

1. prim算法 

prim算法从结点出发构造最小生成树，适合于稠密图（边多的图）。

主要分为三步：

第一步选择最接近最小生成树的结点；

第二步标记该结点并将其加入最小生成树中；

第三步更新最小生成树的路径大小。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<climits>
using namespace std;int main(){int v, e;int v1, v2, val;cin >> v >> e;vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));for(int i = 0; i < e; i ++){cin >> v1 >> v2 >> val;grid[v1][v2] = val;grid[v2][v1] = val;}vector<int> minDist(v + 1, 10001);vector<bool> visited(v + 1, false);for(int i = 1; i < v; i ++){int cur = -1;//第一步选择最接近最小生成树的结点int min = INT_MAX;for(int j = 1; j <= v; j ++){if(!visited[j] && minDist[j] < min){min = minDist[j];cur = j;}}visited[cur] = true;//第二步开始进行标记for(int k = 0; k <= v; k ++){//第三步开始更新路径if(!visited[k] && grid[cur][k] < minDist[k]){minDist[k] = grid[cur][k];}}}int result = 0;for(int i = 2; i <= v; i ++){result += minDist[i];}cout << result << endl;
}

2. kruskal算法

kruskal算法是从边出发生成最小生成树，适用于稀疏图（边少的图）。

这里需要首先对边的权值进行排序，所以涉及到将所有边统计下来，然后后面不断加入并查集，判断是否处于同一个集合中。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;struct edge{int l, r, val;  
};int v, e;
vector<int> parent(10001, 0);void init(){for(int i = 0; i < v; i ++){parent[i] = i;}
}int find(int u){return u == parent[u] ? u : parent[u] = find(parent[u]);
}bool isSame(int u, int v){u = find(u);v = find(v);return u == v;
}void join(int u, int v){u = find(u);v = find(v);if(u == v) return;parent[v] = u;
}bool cmp(edge& a, edge& b){return a.val < b.val;
}
int main(){while(cin >> v >> e){init();vector<edge> grid(e);int result = 0;//统计所有的权值for(int i = 0; i < e; i ++){cin >> grid[i].l >> grid[i].r >> grid[i].val;}//对边的权值按照由小到大的顺序排列sort(grid.begin(), grid.end(), cmp);for(int i = 0; i < e; i ++){if(isSame(grid[i].l, grid[i].r)) continue;result += grid[i].val;join(grid[i].l, grid[i].r);}cout << result << endl;}
}

感谢你的阅读，希望我的文章能够给你帮助，如果有帮助，麻烦点赞加收藏，或者点点关注，非常感谢。

如果有什么问题欢迎评论区讨论！