数字基带之相移键控PSK

1 相移键控定义

相移键控是指用载波的相移位变化来传递信号，不改变载波的幅度和频率，可用下面的公式表示。

$S_{k}(t)=A(cosw_{0}t+\Theta _{k})=A(cos\Theta _{k}cosw_{0}t-sin\Theta _{k}sinw_{0}t)$

$A$ 是载波的幅度， $w_{0}$ 是载波的角频率， $w_{0}t+\Theta _{k}$ 是载波的瞬时相位， $\Theta _{k}$ 是载波的初始相位。如果需要调制的信号为1bit的二进制数，则k=0和1两种情况， $\Theta _{0}$ 表示0相位， $\Theta _{1}$ 表示 $\pi$ 相位。

其实相移键控可以用MPSK表示，M代表了k的取值范围，即k的取值范围是0，1，2，……，M-1，M为2的n次幂，n为非零整数，表示输入码元的bit数，对应的PSK为MPSK。如果输入码元为1bit，则对应2PSK，如果输入码元为2bit，则对应为4PSK，以此类推。又可以理解为将 $2\pi$ 等分成M个等份，每个等份的 $\Theta =\frac{2\pi }{M}=\frac{2\pi }{2^{n}}$ ，如果初相 $\Theta _{0}$ 为0，则 $\Theta _{1}=\Theta$ ， $\Theta _{2}=2\Theta$ ；如果 $\Theta _{0}=\Theta$ ，则 $\Theta _{1}=2\Theta$ 。基础为2PSK，常用到的有4PSK，4PSK又称QPSK。下面简单介绍一下2PSK和QPSK。

2 2PSK

2PSK中2表示的是将 $2\pi$ 分成相等的两份，即相位0和相位 $\pi$ ，发送信号0时对应的相位为0，发送1时对应的相位为 $\pi$ ，则2PSK的信号表示如下所示：

$S_{0}(t)=A(cosw_{0}t+\Theta _{0})=A(cosw_{0}t)$

$S_{1}(t)=A(cosw_{0}t+\Theta _{1})=A(cosw_{0}t+\pi )=-A(cosw_{0}t)$

同一时刻只能表示1bit数据，要么是0，要么是1。如果有一组待发送的码元均是1bit为0 1 1 0 0 0 1 1，则对应的2PSK调制后的波形如下图所示：

注：这里输入的码元 $s(t)$ 是二进制不归零双极性码，关于不同码型的介绍在后续笔记中介绍。

2PSK的调制方式可以用以下两种方式，第一种可以理解为相干调制，第二种方法为键控法。

相干调制

键控法

2PSK的解调方法如下图所示，这也叫做相干解调。

由于在解调过程中需要用到与调制时相同的载波，即指载波的频率和相位相同。由于2PSK的载波恢复存在 $180^{o}$ 的相位模糊问题，会导致解调出来的信号存在“倒 $\pi$ 现象”。为解决“倒 $\pi$ 现象”提出了DPSK(差分相移键控)，这个在后续笔记中介绍。

关于相位模糊的介绍详见后续笔记。

关于载波恢复（也可叫做载波提取）的介绍也在后面整理的笔记中介绍。

3 QPSK

QPSK又是4PSK，按照定义来说是将 $2\pi$ 等分成4份，则包含 $\Theta _{0}$ 、 $\Theta _{1}$ 、 $\Theta _{2}$ 、 $\Theta _{3}$ 四个相位，这四个相位可以取0， $\frac{\pi }{2}$ ， $\pi$ ， $\frac{3\pi }{2}$ ，也可以取 $\frac{\pi }{4}$ ， $\frac{3\pi }{4}$ ， $\frac{5\pi }{4}$ ， $\frac{7\pi }{4}$ ，当然也可以取其它的，需要满足相邻相位差为 $\frac{\pi }{2}$ 。QPSK对应的是2bit的码元，如00，10，11，01这样的码元序列。按0， $\frac{\pi }{2}$ ， $\pi$ ， $\frac{3\pi }{2}$ 相位表示，则他们对应的信号表示如下所示：

$S_{00}(t)=A(cosw_{0}t)$

$S_{01}(t)=A(cosw_{0}t+\frac{\pi }{2})=-Asinw_{0}t$

$S_{10}(t)=A(cosw_{0}t+\pi )=-A(cosw_{0}t)$

$S_{11}(t)=A(cosw_{0}t+\frac{3\pi }{2})=Asinw_{0}t$

波形表示如下所示：

以上的码型对应的相位是按照常规的码型方式来处理的，当然也可以按照格雷码的形式来调制，也就是00，01，11，10分别对应了0， $\frac{\pi }{2}$ ， $\pi$ ， $\frac{3\pi }{2}$ 相位（这样的对应关系不是固定的，只要满足相邻相位差为 $\frac{\pi }{2}$ 即可）。采用格雷码的方式可以使总的误比特率降低（后面有时间再补充）。

QPSK调制框图如下所示：

上面的串并转换只是将串行输入的1bit信号转换成并行的两bit，转换后的两bit的时间长度和串行两bit的时间长度相等，即并行后的码元速率为串行码元的一半，如下图所示，每个序号均表示1bit信号。输入的1bit信号为二进制不归零双极性码，普通二进制码对应的不归零双极性码如下：

二进制码元1——>双极性码+1

二进制码元0——>双极性码-1

如果要实现将串行输入信号按格雷码进行调制，则可以在串行转换模块后加一个码型变换模块实现将普通二进制码转换成格雷码，结构框图如下图所示。

QPSK解调框图如下所示：

4 四分之π相移QPSK

该调制方式是由两个相差 $\frac{\pi}{4}$ 的QPSK交替产生的，下图给出两个相差 $\frac{\pi}{4}$ 的QPSK的矢量图和星座图，如果第一个图为第一个、第三个码元的星座图，第二个图为第二个、第四个码元的星座图，根据码元顺序以此类推，则可以给出码元11 11 01 01 10 10 00 10 11对应的码元相位为： $\pi$ 、 $\pi+\frac{\pi}{4}$ 、 $\frac{3\pi}{2}$ 、 $\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$ 、 $\frac{\pi}{2}$ 、 $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$ 、0、 $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$ 、 $\pi$ 。

两个相差 $\frac{\pi}{4}$ 的QPSK的矢量图

两个相差 $\frac{\pi}{4}$ 的QPSK的星座图

5 PSK的隐含条件和几点理解

（1）每个码元中应该包含整数个载波周期，这样初始相位相同的相邻码元的瞬时相位才会在码元边界处连续。因为在码元边界处相位不连续会导致信号的频谱展宽，包络出现起伏。（这个后面补充波形）

（2）根据MPSK的表达式 $S_{k}(t)=A(cosw_{0}t+\Theta _{k})=A(cos\Theta _{k}cosw_{0}t-sin\Theta _{k}sinw_{0}t)$ ，令A=1，MPSK的调制框图都可以用下图表示，这里的a支路代表的是I路信号，即 $cos\Theta _{k}$ ，b支路代表的是Q路信号，即 $sin\Theta _{k}$ 。

（3）无论输入到调制电路的信号经过了什么样的处理，它始终都是0和1组成的二进制码流，无论这个二进制码流是否需要进行串并转换或者码型变换，都不能直接用于乘法电路和相干载波进行运算，用QPSK举例说明如下(按常规二进制码和相位0， $\frac{\pi }{2}$ ， $\pi$ ， $\frac{3\pi }{2}$ 的对应关系)：

输入码流	a支路	b支路	错误的s(t)	正确的s(t)
00	0	0	0	$cosw_{0}t$
01	0	1	$-sinw_{0}t$	$sinw_{0}t$
10	1	0	$cosw_{0}t$	$-cosw_{0}t$
11	1	1	$cosw_{0}t-sinw_{0}t$	$-sinw_{0}t$

所以a/b支路不是直接将输入bit流乘以载波，况且非QPSK时直接将bit流分到a/b支路是有问题的。正确的理解是：需要将输入bit流转换成相应的I/Q信号后再和载波相乘相加输出。

（4）二进制bit流对应的I/Q信号转换理论上可以从PSK公式上找到，下面用QPSK和8PSK作说明：

下表为QPSK，对应的相位矢量如下图：

输入码元	$\Theta _{k}$	I	Q
00	0	1	0
01	$\frac{\pi}{2}$	0	-1
10	$\pi$	-1	0
11	$\frac{3\pi}{2}$	0	1

下表为8PSK，对应相位矢量如下图所示：

输入码元	$\Theta _{k}$	I	Q
000	0	1	0
001	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{sqrt(2)}{2}$	$\frac{sqrt(2)}{2}$
010	$\frac{2\pi}{4}$	0	1
011	$\frac{3\pi}{4}$	$-\frac{sqrt(2)}{2}$	$\frac{sqrt(2)}{2}$
100	$\frac{4\pi}{4}$	-1	0
101	$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{sqrt(2)}{2}$	$-\frac{sqrt(2)}{2}$
110	$\frac{6\pi}{4}$	0	-1
111	$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{sqrt(2)}{2}$	$-\frac{sqrt(2)}{2}$