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⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树,它或者是⼀棵空树,或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左⼦树不为空,则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空,则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
template<class K>
struct BSNode
{BSNode(const K& key){_key = key;_left = nullptr;_right = nullptr;}struct BSNode* _left;struct BSNode* _right;K _key;
};
template<class K>
class BSTree
{typedef struct BSNode<K> Node;
public:// 函数
private:Node* _root = nullptr;
};
⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值,也可以不⽀持插⼊相等的值,具体看使⽤场景定义,后续学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树,其中map/set不⽀持插⼊相等值,multimap/multiset⽀持插⼊相等值。
⼆叉搜索树的性能分析
最优情况下,⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树),其⾼度为: O(lgN)
最差情况下,⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀),其⾼度为: O(N/2)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为: O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的,后续需要继续了解⼆叉搜索树的变形,平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树,才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外,⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率,但是⼆分查找有两⼤缺陷:
1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中,并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低,因为存储在下标随机访问的结构中,插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。 这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
⼆叉搜索树的插⼊
插⼊的具体过程如下:
1. 树为空,则直接新增结点,赋值给root指针
2. 树不空,按⼆叉搜索树性质,插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛,插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛,找到空位置,插⼊新结点。
3. 如果⽀持插⼊相等的值,插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛,也可以往左⾛,找到空位置,插 ⼊新结点。(要注意的是要保持逻辑⼀致性,插⼊相等的值不要⼀会往右⾛,⼀会往左⾛)
bool Insert(const K& key){Node* newnode = new Node(key);if (_root == nullptr){_root = newnode;return true;}else{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > newnode->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < newnode->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}if (parent->_key > newnode->_key)parent->_left = newnode;if (parent->_key < newnode->_key)parent->_right = newnode;return true;}}
⼆叉搜索树的查找
1. 从根开始⽐较,查找x,x⽐根的值⼤则往右边⾛查找,x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次,⾛到到空,还没找到,这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值,找到x即可返回
4. 如果⽀持插⼊相等的值,意味着有多个x存在,⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图,查找3,要找到1的右孩⼦的那个3返回
Node* Find(const K& key){assert(_root);Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}elsereturn cur;}return nullptr;}
⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中,如果不存在,则返回false。 如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理:(假设要删除的结点为N)
1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
2. 要删除的结点N左孩⼦为空,右孩⼦结点不为空
3. 要删除的结点N右孩⼦为空,左孩⼦结点不为空
注意还有这种情况:
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案:
1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空,直接删除N结点(情况1可以当成2或者3处理,效果是⼀样的)
2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦,直接删除N结点
3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦,直接删除N结点
4. ⽆法直接删除N结点,因为N的两个孩⼦⽆处安放,只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N,因为这两个结点中任意⼀个,放到N的位置,都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换,转⽽变成删除R结点,R结点符合情况2或情况3,可以直接删除。
注意:删除的代码逻辑较为复杂,复习的时候最好再写一遍~
bool Erase(const K& key){assert(_root);Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root)//如果删除没有左子树的根节点{_root = cur->_right;}// 左子树为空and左右子树都为空else if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root)//如果删除没有右子树的根节点{_root = cur->_left;}// 右子树为空else if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_left;}delete cur;}else{//左右子树都不为空Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceparent->_left == replace){replaceparent->_left = replace->_right;}else if (replaceparent->_right == replace){replaceparent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}
⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
key搜索场景:
只有key作为关键码,结构中只需要存储key即可,关键码即为需要搜索到的值,搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查,但是不⽀持修改,修改key破坏搜索树结构了。
场景1:⼩区⽆⼈值守⻋库,⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区,那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统,⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中,在则抬杆,不在则提示⾮本⼩区⻋辆,⽆法进⼊。
场景2:检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确,将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树,读取⽂章中的单词,查找是否在⼆叉搜索树中,不在则波浪线标红提示。
key/value搜索场景:
每⼀个关键码key,都有与之对应的值value,value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value,增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较,可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改,但是不⽀持修改key,修改key破坏搜索树结构了,可以修改value。
场景1:简单中英互译字典,树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂),搜索时输⼊英⽂,则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2:商场⽆⼈值守⻋库,⼊⼝进场时扫描⻋牌,记录⻋牌和⼊场时间,出⼝离场时,扫描⻋牌,查找⼊场时间,⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓,计算出停⻋费⽤,缴费后抬杆,⻋辆离场。
场景3:统计⼀篇⽂章中单词出现的次数,读取⼀个单词,查找单词是否存在,不存在这个说明第⼀次出现,(单词,1),单词存在,则++单词对应的次数。
本期博客到这里就结束了,如果有什么错误,欢迎指出,如果对你有帮助,请点个赞,谢谢!