用Python实现时间序列模型实战——Day 10: ARIMA 与 SARIMA 模型的综合练习

一、学习内容

1. ARIMA 与 SARIMA 模型的对比分析

ARIMA 模型：

ARIMA 模型适用于没有明显季节性趋势的时间序列数据。它通过自回归 (AR)、差分 (I) 和移动平均 (MA) 成分来建模时间序列数据的趋势和噪声。

SARIMA 模型：

SARIMA 模型是 ARIMA 模型的扩展版本，专门用于具有季节性成分的时间序列数据。除了 ARIMA 的成分外，SARIMA 还包含季节性自回归 (SAR)、季节性差分 (SD) 和季节性移动平均 (SMA) 成分。

2. 不同模型在不同类型数据集上的表现对比

非季节性数据：

对于没有明显季节性趋势的数据，ARIMA 模型通常更合适。它可以有效捕捉数据中的趋势和短期波动，而不需要考虑季节性成分。

季节性数据：

对于具有明显季节性周期的数据，SARIMA 模型更为适合。它能够处理数据中的季节性模式，并在建模过程中包含这些周期性的变化。

二、实战案例

在本案例中，我们将对比 ARIMA 和 SARIMA 模型在同一数据集（航空乘客数据）上的表现，分析两种模型的适用性和优劣。

1. 数据加载与原始数据可视化

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX# 加载时间序列数据集
url = "https://raw.githubusercontent.com/jbrownlee/Datasets/master/airline-passengers.csv"
data = pd.read_csv(url, parse_dates=['Month'], index_col='Month')# 绘制原始数据的时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data['Passengers'], label='Original')
plt.title('Original Time Series')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

程序解释：

载入航空乘客数据集，并绘制原始时间序列图，展示乘客数量随时间的变化趋势和季节性波动。

结果输出：

2. ARIMA 模型拟合

# ARIMA 模型拟合 (p, d, q) = (2, 1, 2)
model_arima = ARIMA(data['Passengers'], order=(2, 1, 2))
results_arima = model_arima.fit()# 输出 ARIMA 模型摘要
print("ARIMA(2, 1, 2) Model Summary:")
print(results_arima.summary())

程序解释：

使用 ARIMA 函数拟合 ARIMA(2, 1, 2) 模型，并输出模型的摘要信息。ARIMA 模型适用于处理无明显季节性特征的数据。

结果输出：

ARIMA(2, 1, 2) Model Summary:SARIMAX Results                                
==============================================================================
Dep. Variable:             Passengers   No. Observations:                  144
Model:                 ARIMA(2, 1, 2)   Log Likelihood                -671.673
Date:                Mon, 02 Sep 2024   AIC                           1353.347
Time:                        20:51:05   BIC                           1368.161
Sample:                    01-01-1949   HQIC                          1359.366- 12-01-1960                                         
Covariance Type:                  opg                                         
==============================================================================coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1          1.6850      0.020     83.060      0.000       1.645       1.725
ar.L2         -0.9548      0.017    -55.420      0.000      -0.989      -0.921
ma.L1         -1.8432      0.124    -14.809      0.000      -2.087      -1.599
ma.L2          0.9953      0.135      7.380      0.000       0.731       1.260
sigma2       665.9584    114.053      5.839      0.000     442.419     889.498
===================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q):                   0.30   Jarque-Bera (JB):                 1.84
Prob(Q):                              0.59   Prob(JB):                         0.40
Heteroskedasticity (H):               7.38   Skew:                             0.27
Prob(H) (two-sided):                  0.00   Kurtosis:                         3.14
===================================================================================

ARIMA 模型的摘要：ARIMA(2, 1, 2) 模型的摘要信息包括模型参数的估计值、标准误差、t 统计量等。AIC 和 BIC 值用于评估模型的优劣。

3. SARIMA 模型拟合

# SARIMA 模型拟合 (p, d, q) x (P, D, Q, m) = (1, 1, 1) x (1, 1, 1, 12)
model_sarima = SARIMAX(data['Passengers'], order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12))
results_sarima = model_sarima.fit()# 输出 SARIMA 模型摘要
print("\nSARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) Model Summary:")
print(results_sarima.summary())

程序解释：

使用 SARIMAX 函数拟合 SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) 模型，并输出模型的摘要信息。SARIMA 模型适用于具有季节性成分的数据。

结果输出：

SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) Model Summary:SARIMAX Results                                      
==========================================================================================
Dep. Variable:                         Passengers   No. Observations:                  144
Model:             SARIMAX(1, 1, 1)x(1, 1, 1, 12)   Log Likelihood                -506.149
Date:                            Mon, 02 Sep 2024   AIC                           1022.299
Time:                                    20:51:09   BIC                           1036.675
Sample:                                01-01-1949   HQIC                          1028.140- 12-01-1960                                         
Covariance Type:                              opg                                         
==============================================================================coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ar.L1         -0.1272      0.356     -0.357      0.721      -0.825       0.570
ma.L1         -0.2149      0.325     -0.660      0.509      -0.853       0.423
ar.S.L12      -0.9272      0.214     -4.341      0.000      -1.346      -0.509
ma.S.L12       0.8395      0.309      2.717      0.007       0.234       1.445
sigma2       130.7819     15.420      8.481      0.000     100.559     161.005
===================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q):                   0.00   Jarque-Bera (JB):                 7.05
Prob(Q):                              0.99   Prob(JB):                         0.03
Heteroskedasticity (H):               2.65   Skew:                             0.13
Prob(H) (two-sided):                  0.00   Kurtosis:                         4.11
===================================================================================

SARIMA 模型的摘要：SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) 模型的摘要信息同样包括模型参数的估计值、AIC、BIC 等。SARIMA 模型能够处理数据中的季节性成分。

4. 模型预测与对比

# 对比两个模型的预测结果
pred_arima = results_arima.get_forecast(steps=24)
pred_arima_ci = pred_arima.conf_int()pred_sarima = results_sarima.get_forecast(steps=24)
pred_sarima_ci = pred_sarima.conf_int()# 绘制模型预测结果的对比图
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.plot(data.index, data['Passengers'], label='Observed', color='blue')
plt.plot(pred_arima.predicted_mean.index, pred_arima.predicted_mean, color='red', label='ARIMA Forecast')
plt.fill_between(pred_arima_ci.index, pred_arima_ci.iloc[:, 0], pred_arima_ci.iloc[:, 1], color='red', alpha=0.3)
plt.plot(pred_sarima.predicted_mean.index, pred_sarima.predicted_mean, color='green', label='SARIMA Forecast')
plt.fill_between(pred_sarima_ci.index, pred_sarima_ci.iloc[:, 0], pred_sarima_ci.iloc[:, 1], color='green', alpha=0.3)
plt.title('ARIMA vs SARIMA Model Forecast')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

程序解释：

通过拟合的 ARIMA 和 SARIMA 模型分别对未来 24 个月的乘客数量进行预测，并绘制预测结果对比图。
观察两种模型的预测效果，并比较其预测区间的宽度。

结果输出：

预测结果对比：通过对比 ARIMA 和 SARIMA 模型的预测结果，可以观察到 SARIMA 模型在处理季节性数据时往往具有更好的表现，预测区间更窄，说明预测的可信度更高。

5. AIC 和 BIC 值的比较

# 比较两个模型的 AIC 和 BIC 值
print(f"ARIMA(2, 1, 2) AIC: {results_arima.aic}, BIC: {results_arima.bic}")
print(f"SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) AIC: {results_sarima.aic}, BIC: {results_sarima.bic}")

程序解释：

输出两种模型的 AIC 和 BIC 值，用于评估模型的拟合效果。AIC 和 BIC 值越小，模型的拟合效果越好。

结果输出：

ARIMA(2, 1, 2) AIC: 1353.346641008392, BIC: 1368.1608641596915
SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1, 12) AIC: 1022.298793640585, BIC: 1036.6747802565908

AIC 和 BIC 值的比较：SARIMA 模型的 AIC 和 BIC 值如果明显低于 ARIMA 模型，则说明 SARIMA 模型更适合于该数据集。否则，ARIMA 模型可能表现更好。

三、结果分析

1. 模型选择的依据

对于具有显著季节性模式的数据集，SARIMA 模型通常表现更佳，因为它能够捕捉季节性成分并进行相应调整。对于无明显季节性模式的数据集，ARIMA 模型可能已经足够有效。

2. 预测结果的对比

通过比较两个模型的预测结果，可以直观地看到 SARIMA 模型在季节性数据上的优势。SARIMA 模型的预测区间往往比 ARIMA 模型更窄，表明其预测的不确定性较小。

3. AIC 和 BIC 值的评估

AIC 和 BIC 是选择最优模型的重要标准，值越低的模型通常具有更好的拟合效果。在本案例中，如果 SARIMA 模型的 AIC/BIC 值低于 ARIMA 模型，则表明 SARIMA 模型更适合该数据集。

通过本次练习，您学会了如何在相同数据集上应用 ARIMA 和 SARIMA 模型，并通过比较两种模型的预测效果和统计指标，选择最适合的模型。未来的实际应用中，可以根据数据的特性选择最合适的时间序列模型。