【数论状态机dp】2572. 无平方子集计数

本文涉及知识点

C++动态规划
数论质数、最大公约数、菲蜀定理

LeetCode 2572. 无平方子集计数

给你一个正整数数组 nums 。
如果数组 nums 的子集中的元素乘积是一个无平方因子数，则认为该子集是一个无平方子集。
无平方因子数是无法被除 1 之外任何平方数整除的数字。
返回数组 nums 中无平方且非空的子集数目。因为答案可能很大，返回对 109 + 7 取余的结果。
nums 的非空子集是可以由删除 nums 中一些元素（可以不删除，但不能全部删除）得到的一个数组。如果构成两个子集时选择删除的下标不同，则认为这两个子集不同。
示例 1：
输入：nums = [3,4,4,5]
输出：3
解释：示例中有 3 个无平方子集：

由第 0 个元素 [3] 组成的子集。其元素的乘积是 3 ，这是一个无平方因子数。
由第 3 个元素 [5] 组成的子集。其元素的乘积是 5 ，这是一个无平方因子数。
由第 0 个和第 3 个元素 [3,5] 组成的子集。其元素的乘积是 15 ，这是一个无平方因子数。
可以证明给定数组中不存在超过 3 个无平方子集。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
解释：示例中有 1 个无平方子集：
由第 0 个元素 [1] 组成的子集。其元素的乘积是 1 ，这是一个无平方因子数。
可以证明给定数组中不存在超过 1 个无平方子集。
提示：
1 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= 30

动态规划

预处理

v 记录[1,30]的质数。m = v.size()
cnt[i]统计i出现的次数 ,i$\in[0,30]
vMask[i]：记录i包括质因数的情况
invalid[i]：记录i的因数是否有平方数

动态规划的状态表示

dp‘[i][maks] 表示最大数<=i，且包括质数的状态为mask的数量。 (1 << j )& mask 表示乘积已经包括v[j]
i $\in$ [2,30] i==1最后做特殊处理。
pre = dp’[i] dp = dp’[i+1]
使用滚动数组，空间复杂度：O(2^m)

动态规划的转移方程

每个前置状态都只有两种变化：选择不选择。
选择需要判断：n*p 是否是 v的某个元素的平方。判断方式：vMask[i]&p
单个状态转移方程的时间复杂度是：O(1)
总时间复杂度：O(30 $\times$ 2^m)

动态规划的初始值

pre[0]=1，其它全部为0

动态规划的填表顺序

i = 2 to 30
忽略invalid[i]

动态规划的返回值

sum = $\sum$ (pre)
sum 的任意状态都可以选择任意个1，也可以不选择。
如果只有1，除选择0个1外，可以任意选择1。故结果：
(sum+1) $\times$ 2^cnt[1]-1

代码

核心代码

class CUniqueFactorization
{
public:CUniqueFactorization(int iMax) {int iMaxSqrt = sqrt(iMax) + 2;m_vPrime = CreatePrime(iMaxSqrt);}void Factorization(int x) {m_a.clear();m_n.clear();for (const auto& iPre : m_vPrime) {int cnt = 0;while (0 == x % iPre) {cnt++;x /= iPre;}if (cnt > 0) {m_a.emplace_back(iPre);m_n.emplace_back(cnt);}}if (x > 1) {m_a.emplace_back(x);m_n.emplace_back(1);}}vector<int> m_a, m_n;vector<int> CreatePrimeOld(int iMax){vector<int> vNo(iMax + 1);vector<int> vPrime;for (int i = 2; i <= iMax; i++){if (!vNo[i]){vPrime.emplace_back(i);}for (const auto& n : vPrime){if (n * i > iMax){break;}vNo[n * i] = true;}}return vPrime;}static vector<int> CreatePrime(int iMax){vector<bool> isPrime(iMax + 1, true);vector<int> vPrime;for (int i = 2; i <= iMax; i++){if (isPrime[i]){vPrime.emplace_back(i);}for (const auto& n : vPrime){if (n * i > iMax) { break; }isPrime[n * i] = false;if (0 == i % n) { break; }}}return vPrime;}vector<int> m_vPrime;
};template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int squareFreeSubsets(vector<int>& nums) {auto v = CUniqueFactorization::CreatePrime(30);int cnt[31] = { 0 };for (const auto& n : nums) {cnt[n]++;}int amask[31] = { 0 };bool invalid[31] = { false };for (int i = 2; i <= 30; i++) {for (int j = 0; j < v.size(); j++) {if (0 != i % v[j]) { continue; }amask[i] |= (1 << j);if (0 == i % (v[j] * v[j])) {invalid[i] = true;}}}vector<C1097Int<>> pre(1 << v.size());pre[0] = 1;for (int i = 2; i <= 30; i++) {if (invalid[i]) { continue; }vector<C1097Int<>> dp = pre;for (int p = 0; p < pre.size(); p++) {if (p & amask[i]) { continue; }dp[p | amask[i]] += pre[p] * cnt[i];}pre.swap(dp);}C1097Int<> sum = accumulate(pre.begin()+1, pre.end(), C1097Int<>());C1097Int<> ret = (sum + 1) * C1097Int<>(2).pow(cnt[1]) - 1;return ret.ToInt();}
};

单元测试

class Solution {
public:int squareFreeSubsets(vector<int>& nums) {auto v = CUniqueFactorization::CreatePrime(30);int cnt[31] = { 0 };for (const auto& n : nums) {cnt[n]++;}int amask[31] = { 0 };bool invalid[31] = { false };for (int i = 2; i <= 30; i++) {for (int j = 0; j < v.size(); j++) {if (0 != i % v[j]) { continue; }amask[i] |= (1 << j);if (0 == i % (v[j] * v[j])) {invalid[i] = true;}}}vector<C1097Int<>> pre(1 << v.size());pre[0] = 1;for (int i = 2; i <= 30; i++) {if (invalid[i]) { continue; }vector<C1097Int<>> dp = pre;for (int p = 0; p < pre.size(); p++) {if (p & amask[i]) { continue; }dp[p | amask[i]] += pre[p] * cnt[i];}pre.swap(dp);}C1097Int<> sum = accumulate(pre.begin()+1, pre.end(), C1097Int<>());C1097Int<> ret = (sum + 1) * C1097Int<>(2).pow(cnt[1]) - 1;return ret.ToInt();}
};template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{Assert::AreEqual(t1, t2);
}
void AssertEx( double t1,  double t2)
{auto str = std::to_wstring(t1) + std::wstring(1,32) + std::to_wstring(t2);Assert::IsTrue(abs(t1 - t2) < 1e-5,str.c_str() );
}template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);}
}template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{sort(vv1.begin(), vv1.end());sort(vv2.begin(), vv2.end());Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());for (int i = 0; i < vv1.size(); i++){AssertEx(vv1[i], vv2[i]);}
}namespace UnitTest
{vector<int> nums;TEST_CLASS(UnitTest){public:TEST_METHOD(TestMethod00){nums = { 3, 4, 4, 5 };auto res = Solution().squareFreeSubsets(nums);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod01){nums = { 1 };auto res = Solution().squareFreeSubsets(nums);AssertEx(1, res);}};
}

扩展阅读

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