锐角 $△ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 圆 $I$ 与 $\omega$ 内切于 $A$, 且与 $BC$ 切于点 $D$. 设直线 $AB$, $AC$ 分别与 $I$ 交于点 $P$, $Q$, 点 $M$, $N$ 在直线 $BC$ 上, 满足 $B$ 是 $DM$ 的中点, $C$ 是 $DN$ 的中点. 设直线 $MP$, $NQ$ 交于点 $K$, 且分别与 $I$ 交于点 $I$, $J$, 射线 $KA$ 与 $△IJK$ 的外接圆交于另一点 $X$. 求证: $\angle BXP=\angle CXQ$.

证明:

证明 $XM$ 平行于 $AB$, $XN$ 平行于 $AC$ :

易知 $PQ//BC$,

$\angle KXJ=\angle KJI=\angle KPQ=\angle KMN$

$\therefore X$, $J$, $D$, $M$ 共圆, $KJ\cdot KM=KX\cdot KD$.

其中, $KJ=\frac{KD\cdot AK}{KP}$.

$\therefore KX=\frac{KM}{KP}\cdot AK$.

$\therefore XM$ 平行于 $AB$

同理, $XN$ 平行于 $AC$.

$\therefore XD$ 平分 $\angle MXN$

设 $(APQ)$ 的圆心为 $T$. 则 $TD$ $\perp$ $PQ$, 进而可知 $PD=QD$.

证明 $△PXD\sim △CXN$ :

$\angle PDX=\angle PQA=\angle ACB=\angle CNX$

$\frac{XN}{XD}=\frac{AC}{AD}$

由相切可知, $△DCQ\sim △ACD$, $\frac{AC}{AD}=\frac{CP}{DQ}=\frac{PD}{CN}$

$\therefore △PXD\sim △CXN$.

$\therefore \angle PXC=\angle DXN=\frac{1}{2}\angle BAC$.

同理 $\angle QXB=\frac{1}{2}\angle BAC$, 证毕.