🎯要点

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🍪语言内容分比

🍇Python运动学可视化

运动学是力学的一个分支，涉及物体的运动，而不考虑引起运动的力。给定一个描述粒子位置矢量随时间变化的方程，就可以计算各种运动学属性。最重要的是速度和加速度。如果粒子沿直线运动，则运动是直线运动。类似地，沿着弯曲路径行进的粒子也进行曲线运动。

$x$、$y$ 和 $z$ 笛卡尔坐标系定义了粒子在欧几里得空间中的空间位置。方程 1 显示了粒子位置随时间的变化。秒 (s) 是时间单位，米 (m) 是位置单位。
$$\vec{r}(t)=x(t)\hat{ı}+y(t)\hat{ȷ}+z(t)\hat{k}(1)$$
曲率半径 (rho) 是从粒子 P 到路径 C 的曲率中心的距离。当粒子在空间中移动时，曲率半径会根据描述运动的函数而变化。

速度是由方程 2 表示的位置的一阶导数。速度矢量与粒子的轨迹相切。

$$\vec{v}(t)=\frac{dx(t)}{dt}\hat{ı}+\frac{dy(t)}{dt}\hat{ȷ}+\frac{dz(t)}{dt}\hat{k}(2)$$
该方向上的单位矢量是单位切矢量，由公式 3 给出。它等于速度矢量除以幅值。

$${\hat{u}}_t=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{v}(3)$$
向量有方向和大小。公式 4 显示了如何计算 3 维位置矢量的大小。它可以应用于任何向量并扩展到任意数量的维度。

$$\Vert \vec{r}\Vert =r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}(4)$$
加速度是位置的二阶导数或速度的一阶导数。法向分量和切向分量包括加速度。

• 切向加速度与速度方向相同。
• 法向加速度是朝着粒子路径的曲率中心的方向。

方程 5 显示了加速度的两个分量。单位切向加速度矢量和法向加速度矢量是正交单位矢量。因此，它们形成一个称为密切平面的平面。

$$\vec{a}(t)=\underset{\text{切向 }}{\underbrace{a_t{\hat{u}}_t}}+\underset{\text{法向 }}{\underbrace{a_n{\hat{u}}_n}}(5)$$
单位副法向量垂直于密切平面，构成右手正交系。因此，方程 6 给出了单位副法线。
$${\hat{u}}_b={\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n=\frac{\vec{v}\times \vec{a}}{\Vert \vec{v}\times \vec{a}\Vert }(6)$$
单位法线指向曲率中心，这意味着曲率中心 C 位于密切平面内。因此，相对于粒子 P，曲率中心 C 由方程 7 给出。
$${\vec{r}}_{c/p}=\rho {\hat{u}}_n(7)$$
向量相加给出了 C 的位置向量，如公式 8 所示。
$${\vec{r}}_c=\vec{r}+{\vec{r}}_{c/p}(8)$$

Python模拟三维运动学

模拟从 0 秒开始，360 秒后结束。以下代码显示了时间线束参数。

t0 = 0
tf = 720
dt = 1
time = np.arange(t0, tf, dt, dtype='float')

方程 9 定义了粒子的位置如何随时间变化，从而定义了轨迹。
$$\vec{r}(t)=\sin (3t)\hat{ı}+\cos (t)\hat{ȷ}+\cos (2t)\hat{k}(9)$$
以下显示了该符号运动方程以及速度和加速度导数的声明。还提出了切向加速度方程，它是速度大小的导数。

t = sp.symbols('t')
R = [sp.cos(t), sp.sin(t), t / 5] 
V = vector_derivative(R, t)
A = vector_derivative(V, t)
At = vector_magnitude(V).diff(t)

矢量方程

def vector_derivative(vector, wrt):return [component.diff(wrt) for component in vector]def vector_magnitude(vector):magnitude = 0for component in vector:magnitude += component ** 2return magnitude ** (1 / 2)def unit_vector(from_vector_and_magnitude=None, from_othogonal_vectors=None, from_orthogonal_unit_vectors=None):if from_vector_and_magnitude is not None:vector_a, magnitude = from_vector_and_magnitude[0], from_vector_and_magnitude[1]return [component / magnitude for component in vector_a]if from_othogonal_vectors is not None:vector_a, vector_b = from_othogonal_vectors[0], from_othogonal_vectors[1]vector_normal = np.cross(vector_a, vector_b)return unit_vector(from_vector_and_magnitude=(vector_normal, vector_magnitude(vector_normal)))if from_orthogonal_unit_vectors is not None:u1, u2 = from_orthogonal_unit_vectors[0], from_orthogonal_unit_vectors[1]return np.cross(u1, u2)def evaluate_vector(vector, time_step):numerical_vector = [float(component.subs(t, time_step).evalf()) for component in vector]magnitude = vector_magnitude(numerical_vector)return numerical_vector, magnitude

定义了相关的矢量函数后，就可以开始随时间传播。以下显示了用于运行模拟的代码。

propagation_time_history = []for ti in time:ti_r = d2r(ti)r, r_mag = evaluate_vector(R, ti_r)v, v_mag = evaluate_vector(V, ti_r)v_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(v, v_mag)]a_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(a, a_mag)]ut = unit_vector(from_vector_and_magnitude=(v, v_mag))ub = unit_vector(from_othogonal_vectors=(v, a))un = unit_vector(from_orthogonal_unit_vectors=(ub, ut))at = float(At.subs(t, ti_r).evalf())rc = r + (rho * un)rc_mag = vector_magnitude(rc)iteration_results = {'t': ti, 'rx': r[0], 'ry': r[1], 'rz': r[2], 'r_mag': r_mag,'vx': v[0], 'vy': v[1], 'vz': v[2], 'v_mag': v_mag,'rcx': rc[0], 'rcy': rc[1], 'rcz': rc[2], 'rc_mag': rc_mag, 'rho': rho,'ax': a[0], 'ay': a[1], 'az': a[2], 'a_mag': a_mag, 'an': an, 'at': at,'ubx': ub[0], 'uby': ub[1], 'ubz': ub[2],'utx': ut[0], 'uty': ut[1], 'utz': ut[2],'unx': un[0], 'uny': un[1], 'unz': un[2]}propagation_time_history.append(iteration_results)df = pd.DataFrame(propagation_time_history)

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