微积分-导数4（三角函数的导数）

证明 $\sin x$ 的导数为 $\cos x$

已知函数
$\sin x$
画出 $f (x)$ 图像以及 $f^{'} (x)$ 的图像
在这里插入图片描述
因此，我们可以合理的猜测：当 $\sin x$ 时， $\cos x$ ，下面根据导数的定义来证明
$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1) + \cos(x) \sin(h)}{h} \right] \\ &= \lim_{h \to 0} \left[ \sin(x) \left( \frac{\cos(h) - 1}{h} \right) + \cos(x) \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) \right] \\ &= \sin(x) \cdot \left( \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \left( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} \right) \end{align*}$
根据 $\frac{\sin \theta}{\theta}$ 的图像，我们可以合理的猜测
$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$
在这里插入图片描述

现在我们使用几何论证来证明等式。首先假设角 $\theta$ 在 $0$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间。图中显示了一个以 $O$ 为中心的圆扇形，其中心角为 $\theta$ ，半径为1。BC垂直于OA。根据弧度定义，我们有 $\text{arc } AB = \theta$ 。同样， $\sin \theta = \sin \theta$ 。从图中我们可以看出：

$\text{arc } AB$

因此： $\sin \theta < \theta \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\theta} < 1$

让A和B的切线在E点相交。且圆的周长小于外接多边形的周长，因此： $\text{arc } AB < |AE| + |EB|$ 。因此：

$\theta = \text{arc } AB < |AE| + |EB| < |AE| + |ED| = |AD| = |OA| \tan \theta = \tan \theta$

因此我们有：

$\theta < \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

因此：

$\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1$

我们知道：

$\lim_{\theta \to 0} \cos \theta = 1$

因此通过挤压定理，我们有：

$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$

又因为函数 $\frac{\sin \theta}{\theta}$ 是偶函数，因此它的左右极限是相等的。因此我们有：

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$

所以我们已经证明了等式。

我们可以推导出剩余极限的值如下：
$\begin{align*} \lim_{\theta \to 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta} & = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos \theta - 1}{\theta} \cdot \frac{\cos \theta + 1}{\cos \theta + 1} \right)\\ & = \lim_{\theta \to 0} \frac{\cos^2 \theta - 1}{\theta (\cos \theta + 1)} \\ & = \lim_{\theta \to 0} \frac{- \sin^2 \theta}{\theta (\cos \theta + 1)} = - \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \right) \\ & = - \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \\ & = 1 \cdot (\frac{0}{1 + 1}) = 0 \end{align*}$
因此
$\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

同理，我们可以证明
$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

有了以上两个结论，可以进一步推导
$\begin{align*} \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \sec^2 x \end{align*}$

三角函数的导数

$\begin{align*} \frac{d}{dx}(\sin x) &= \cos x & \frac{d}{dx}(\csc x) &= -\csc x \cot x \\ \frac{d}{dx}(\cos x) &= -\sin x & \frac{d}{dx}(\sec x) &= \sec x \tan x \\ \frac{d}{dx}(\tan x) &= \sec^2 x & \frac{d}{dx}(\cot x) &= -\csc^2 x \\ \end{align*}$