参考文献：

1. Deitmar A. A first course in harmonic analysis[M]. 2005.
2. Ideal quotient | encyclopedia article by TheFreeDictionary
3. Fractional ideal | encyclopedia article by TheFreeDictionary
4. Pontryagin duality | encyclopedia article by TheFreeDictionary
5. Algebraic number field | encyclopedia article by TheFreeDictionary
6. Duality and Subgroups on JSTOR
7. 群的对偶 - 知乎 (zhihu.com)
8. 格密码1.6 对偶空间与对偶格 - 知乎 (zhihu.com)
9. 对偶空间(1)：空间、基与映射 - 知乎 (zhihu.com)
10. 关于对偶格（dual lattice）的解释 - 知乎 (zhihu.com)
11. 交换环论（6） 诺特环 - 知乎 (zhihu.com)
12. 交换环论(8)：戴德金整环 - 知乎 (zhihu.com)
13. 【抽象代数】18. 模的直积与直和，自由模与投射模 - 知乎 (zhihu.com)
14. 连续映射和同胚 - 知乎 (zhihu.com)
15. 度量空间（metric space）-CSDN博客
16. 代数结构：模（Module）-CSDN博客
17. 代数几何：不可约簇-素理想 -CSDN博客

分式理想

令 $R$ 是一个整环，它的分式域（field of fractions）记为 q f ( R ) : = { a b ∣ a , b ∈ R } qf(R):=\{\dfrac{a}{b}|a,b \in R\} qf(R):={ba​∣a,b∈R}

分式理想（fractional ideal）：它是 $qf(R)$ 的一个 $R$-子模 $I$，存在环元素 $r\in R$，使得 $rI\subseteq R$ 是一个（整，integral）理想。

主分式理想（principal）：作为 $R$-子模，由分式域单个元素 $x\in qf(R)$ 生成，形如 $I=Rx$

注意集合 $I\subseteq qf(R)$ 并不是分式域（只有平凡理想）的理想。取 $r=e$ 是幺元，所有的（整）理想可视为特殊的分式理想。如果 $x\in R$ 使得 $I=Rx$，那么它是（整）主理想。被整环 $R$ 所包含的分式理想就是（整）理想。

类似于理想的和、交、积，定义整环 $R$ 分式理想 $I,J$ 的运算，
I + J : = { a + b ∣ a ∈ I , b ∈ J } I J : = { ∏ i = 1 n a i b i ∣ a i ∈ I , b i ∈ J , n ∈ Z + } I ∩ J : = { a ∣ a ∈ I , a ∈ J } \begin{aligned} I+J &:= \{a+b| a \in I,b \in J\}\\ IJ &:= \{\prod_{i=1}^na_ib_i| a_i \in I,b_i \in J,n \in \mathbb Z^+\}\\ I \cap J &:= \{a|a \in I,a \in J\} \end{aligned} I+JIJI∩J​:={a+b∣a∈I,b∈J}:={i=1∏n​ai​bi​∣ai​∈I,bi​∈J,n∈Z+}:={a∣a∈I,a∈J}​

另外，我们定义分式理想的形式商（formal quotient），
( J : I ) : = { a ∈ q f ( R ) ∣ a I ⊆ J } (J:I) := \{a \in qf(R)| aI \subseteq J\} (J:I):={a∈qf(R)∣aI⊆J}

易知 $I(J:I)\subseteq J$。形式商 $(J:I)$ 是 $R$-子模，不一定是分式理想；如果 $I,J$ 都是（整）理想，则 $(J:I)$ 也是理想。如果存在分式理想 $J$ 使得 $IJ=R$，我们称分式理想 $I$ 是可逆的（invertible ideal）。无论分式理想 $I$ 是否可逆，我们定义它的形式逆，
$$I^{-1}:=(R:I)$$

零理想 $O$ 的形式逆就是分式域 $qf(R)$（不是分式理想），非零分式理想 $I\ne O$ 的形式逆是分式理想（且 $I^{-1}I\subseteq R$ 是理想）。

对于任意整环 $R$，有如下性质

1. 分式域 $qf(R)$ 任意有限生成的 $R$-子模，都是分式理想

2. 如果 $I$ 是有限生成的，那么任意的 $(J:I)$ 是分式理想（于是 $I^{-1}$ 是逆理想）

3. 所有可逆分式理想，都是有限生成的

4. $I+J$ 和 $IJ$ 都还是分式理想，但是 $I\cap J$ 不一定

5. 令 $x\in qf(R)$，主分式理想 $I=Rx$ 可逆，逆理想是 $I^{-1}=R{x}^{-1}$

6. 非零分式理想 $I$ 可逆，当仅当 $I\subseteq qf(R)$ 是投射模

   • 自由模（free）：$R$-模 $M$ 有一组基（basis，$R$-线性无关的有限生成元）

   • 投射模（projective）：投射模 $P$，对于任意的两个模 $M,N$ 以及满的模同态 $\sigma :M\to N$，对于任意模同态 $\varphi :P\to N$，都存在模同态 $\psi$ 使得 $\sigma \circ \psi =\varphi$

   • $R$-模 $P$ 是投射的，当仅当存在自由模 $F$ 和模同态 $\alpha :F\to P,\beta :P\to F$ 满足 $\alpha \circ \beta =1_P$

   • 投射模可以写成自由模的直和

对于特殊的环，有如下性质

1. 如果 $R$ 是诺特环，那么任意的分式理想都是有限生成的
   • 诺特环（Noetherian）：交换环 $R$ 的所有（整）理想都是有限生成的（finitely generated）
2. 如果 $R$ 是局部环，那么任意的分式理想都是主的
   • 局部环（Local）：交换环 $R$ 只有唯一的极大理想

令 $\mathcal{F}(R)$ 是所有非零分式理想的收集，令 $\mathcal{P}(R)$ 是所有可逆分式理想的收集，令 $Prin(R)$ 是所有主分式理想的收集。关于分式理想的积：

• $\mathcal{F}(R)$ 是交换的含幺半群（封闭、结合），幺元 $R$
• $\mathcal{P}(R)$ 是阿贝尔群（封闭、结合、含幺、可逆），$Prin(R)$ 是其子群

戴德金整环（Dedekind domains）：整环 $R$ 的所有非零分式理想都是可逆的

• 数域 $K$ 的整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 是戴德金整环
• 整数环（ring of integer）：有限代数扩域 $K=\mathbb{Q}(e_1,\cdots ,e_n)$ 中所有的整数元素 $z_1{e}_1+\cdots z_n{e}_n,\forall z_i\in \mathbb{Z}$ 组成的环，记为 ${\mathcal{O}}_K$
• Gaussian rationals $\mathbb{Q}(i)$，Cyclotomic field $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$
• square-free 的整数 $d$（任意的 $s^2|d$ 都有 $s\in R$ 属于单位），Quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，

对偶群

有限群的对偶

令 $G$ 是有限阿贝尔群， T = { e 2 π i x ∣ x ∈ R } ⊆ C \mathbb T=\{e^{2\pi ix}|x \in \mathbb R\} \subseteq \mathbb C T={e2πix∣x∈R}⊆C 是单位环面（unit torus，连续的乘法群），包含单位循环群 $\forall n,({\zeta }_n)\subseteq \mathbb{T}$

特征（character）是一个群同态 $\chi :G\to \mathbb{T}$，
$$\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)$$

令集合 $\hat{G}$ 是所有特征的收集，我们定义群同态的乘法（pointwise product） $(\chi ,\eta )\mapsto \chi \eta$，
$$\chi \eta (a)=\chi (a)\eta (a),\forall a\in G$$

对偶群（dual group）：代数结构 $(\hat{G},\cdot )$ 成为一个阿贝尔群，也称为 Pontryagin dual

对于循环群 $G=(g)$，如果 $ord(g)=N$，那么群同态
$${\chi }_l(g)={\zeta }_N^l,l=0,1,\cdots ,N-1$$

就是全部的特征，对偶群 $\hat{G}=({\chi }_1)$ 也是 $N$ 阶循环群，于是有 $G\cong \hat{G}$

双对偶（bidual）：映射 $A\to \hat{\hat{A}}$ 定义为 $a\mapsto {\delta }_a$，其中 ${\delta }_a$ 是群同态
$$\begin{array}{rl}{\delta }_a：\hat{A}& \to \mathbb{T}\\ \chi & \mapsto \chi (a)\end{array}$$

那么映射 $A\to \hat{\hat{A}}$ 是一个典范群同构（canonical isomorphism）

紧凑性 & LCA 群

度量空间（metric space）：集合 $X$ 及其度量 $d$ 组成的结构 $(X,d)$

对于集合中的（无限）序列 $(x_n)\subseteq X$，我们说它收敛（converge）于 $x\in X$，如果
$$\forall ϵ>0,\exists N\in \mathbb{Z},\forall n>N,d(x_n,x)<ϵ$$

两个度量空间 $X,Y$ 之间的映射 $f:X\to Y$，我们说它是连续的（continuous），如果它：把收敛序列映射到收敛序列，并保持极限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)$$

我们说两个度量 $d_1,d_2$ 是等价的（equivalent），如果对于所有的 $(x_n)$，都有：$(x_n)$ 在 $d_1$ 下收敛 $⟺$ $(x_n)$ 在 $d_2$ 下收敛，记为 $d_1\sim d_2$

同胚（homeomorphism）：也称为双连续函数（bi continuous）。拓扑空间（topological space） $(X,{\mathcal{O}}_X),(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 上的函数 $f:X\to Y$，满足三条性质：$f$ 是双射，$f$ 是连续函数，$f^{-1}$ 是连续函数。

对于度量空间 $(X,d)$ 上的自同胚 $f:X\to X$，那么定义新的度量
$$d^{\prime }(x,y):=d(f(x),f(y))$$

它满足 $d^{\prime }\sim d$ 等价。

由于 $f(x)=x/(x+1)$ 是 $[0,\infty )\to [0,1)$ 上的单调同胚，那么：任何度量 $d$，都存在一个等价度量 $d^{\prime }(x,y):=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}$，使得 $Im(d^{\prime })=[0,1)$。我们根据等价关系，将所有的度量 $d$ 划分为等价类 $[d]$，我们称 $(X,[d])$ 是可度量空间（metrizable space）

一个可度量空间 $(X,[d])$ 是紧凑的（compact），如果任意的序列 $(x_n)$，都包含一个收敛的子序列（从 $x_n$ 中无限的挑选一些点）。例子：${\mathbb{R}}^n$ 的有界闭子集；离散空间是紧凑的，当仅当它是有限的。

两个更弱的紧凑性：

1. 我们说 $X$ 是 $\sigma$-紧的，如果存在一个紧子集序列 $K_n\subset K_{n+1}$ 使得 $X={\bigcup }_n{K}_n$，这个序列 $(K_n)$ 叫做 compact exhaustion。易知 $\mathbb{R}$ 可以选取 $K_n=[-n,n]$，可数的离散空间也存在这种序列。
2. 我们说 $X$ 是 局部紧的（locally compact），如果对于任意点 $x\in X$，存在 $r>0$ 使得闭球 ${\bar{B}}_r(x)$ 是紧凑的。例子：空间 ${\mathbb{R}}^n$、离散空间；反例：无限维 Hilbert 空间。
3. 如果度量空间同时 $\sigma$-紧、局部紧，则称为 $\sigma$-局部紧。例子：$\mathbb{R}$，$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，可数的离散空间。

可度量阿贝尔群（metrizable abelian group）：阿贝尔群 $A$，度量等价类 $[d]$，并满足 $(x,y)\mapsto xy$ 以及 $x\mapsto x^{-1}$ 都是连续函数（把收敛序列映射到收敛序列，并保持极限）

LCA 群：可度量的 $\sigma$-局部紧的阿贝尔群。例子：可数的阿贝尔群 + 离散度量，实数域 $\mathbb{R}$，实数环面 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$

1. 一个 compact exhaustion 序列 $(K_n)$ 称为吸收的（absorbing），如果对于任意的紧凑子集 $K\subset A$，都存在某个 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $K\subset K_n$

   LCA 群总是包含一个 absorbing exhaustion

2. 可度量空间的子集 $D\subset X$ 称为稠密的（dense subset），对于任意的 $x\in X$，总存在 $x_n\in D$ 使得序列 $(x_n)$ 收敛于 $x$

   LCA 群总是包含一个可数的稠密子集

注意，连续函数、稠密子集，都是相对于 “收敛序列” 来说的，其不同点之间的测度 $d(x,y)$ 可以是离散的，只要 $n\to \infty$ 时度量趋于 $0$ 即可。

LCA 群的对偶

令 $A$ 是 LCA 群，特征定义为连续群同态 $\chi :A\to \mathbb{T}$（把收敛序列映射到收敛序列，并保持极限）。所有特征的收集 $\hat{A}$，附带上乘法乘法 $\chi \eta (a)=\chi (a)\eta (a)$，称为对偶群。

1. 群 $\mathbb{Z}$ 的特征：$x\mapsto e^{2\pi ixy},y\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，于是有 $\hat{\mathbb{Z}}\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$
2. 群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的特征：$x\mapsto e^{2\pi ixy},y\in \mathbb{Z}$，于是有 $\widehat{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\cong \mathbb{Z}$
3. 群 $\mathbb{R}$ 的特征：$x\mapsto e^{2\pi ixy},y\in \mathbb{R}$，于是有 $\hat{\mathbb{R}}\cong \mathbb{R}$

LAC 群的对偶，依然是 LAC 群。给定 $A$ 的一个 absorbing compact exhaustion $A={\bigcup }_n{K}_n$，对于对偶群中的元素 $\chi ,\eta$，定义 $\hat{A}$ 的度量为：
$$\begin{gathered} {\hat{d}}_n(\chi ,\eta )=\underset{x\in K_n}{\sup }|\chi (x)-\eta (x)| \\ \hat{d}(\chi ,\eta )=\sum _n\frac{{\hat{d}}_n(\chi ,\eta )}{2^n} \end{gathered}$$

群同构 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \hat{\mathbb{Z}}$，$\mathbb{Z}\to \widehat{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$，$\mathbb{R}\to \hat{\mathbb{R}}$ 都是同胚（双连续的）。

令 $A$ 是 LCA 群（ $\sigma$-紧 + 局部紧）：如果 $A$ 紧凑（compact），那么 $\hat{A}$ 离散（discrete）；如果 $A$ 离散，那么 $\hat{A}$ 紧凑。

Pontryagin Duality：任意的 LAC 群，典范同构于它的 bidual，映射 $A\to \hat{\hat{A}}$ 定义为
$$a\mapsto {\delta }_a,{\delta }_a(\chi )=\chi (a)$$

它是两个 LCA 群 $A\cong \hat{\hat{A}}$ 之间的群同态。

Pontryagin Duality theorem：一个 LCA 群 $G$，令 $H\subset G$ 是闭子群（closed subgroup），令 $H^{\perp }\subset \hat{G}$ 是对偶群的闭子群，则对偶关系 $\hat{\cdot }$ 定义了子群和商群之间的双射，
$$\hat{H}=\hat{G}/H^{\perp },\widehat{G/H}=H^{\perp }$$

对偶空间

设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间（阿贝尔群，$\mathbb{F}$-模），线性泛函（linear functional）是线性映射 $V\to \mathbb{F}$，定义运算
$$\begin{gathered} (\alpha +\beta )(v)=\alpha (v)+\beta (v) \\ (k\alpha )(v)=k\cdot \alpha (v) \end{gathered}$$

对偶空间（dual space）：令 $V^{\ast }=Hom(V,\mathbb{F})$ 是所有线性泛函的收集，容易验证它构成线性空间。

对偶基（dual basis）：对于有限维的空间 $\dim V=n$，如果 $e_i$ 是 $V$ 的一组基，那么 ${\alpha }^i$ 是 $V^{\ast }$ 的一组基，其中 ${\alpha }^i(e_j)={\delta }_{ij}$，这里 ${\delta }_{ij}$ 是示性函数。可以验证 $\dim V=\dim V^{\ast }$，于是 $V\cong V^{\ast }$，同构 $e_i\mapsto {\alpha }^i$

对偶映射（dual map）：两个空间 $V,W$ 之间的线性映射 $f:V\to W$，它们对偶空间中的 $\alpha :V\to \mathbb{F},\beta :W\to \mathbb{F}$ 可以被映射 $f^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$ 关联，定义为 $f^{\ast }(\beta )=\beta \circ f$，它也是线性映射，并且满足
$$\begin{gathered} (f+g{)}^{\ast }=f^{\ast }+g^{\ast } \\ (kf{)}^{\ast }=k{f}^{\ast } \\ (fg{)}^{\ast }=g^{\ast }{f}^{\ast } \end{gathered}$$

线性空间到其 bidual 的映射 $\varphi :V\to (V^{\ast }{)}^{\ast }$，使之满足
$$(\varphi (v))(\alpha )=\alpha (v)$$

可以证明它是单射，且其构造不依赖于基的选取的单射，称为典范单射（canonical injection）。对于有限维 $\dim V=\dim (V^{\ast }{)}^{\ast }$，映射 $\varphi$ 也是双射（无限维的不是），称为典范同构（canonical isomorphism）。$V\cong V^{\ast }$ 不是典范的，而 $V\cong (V^{\ast }{)}^{\ast }$ 是典范的。

固定映射，原像和像具有某种 “映射” 关系（每个原像只对应一个像）；同样的，当我们固定原像时，映射和像也存在某种映射关系。于是，原像和映射之间存在某种对称关系，我们将这种对称关系称为 “对偶”，将其所在的空间抽象为对偶空间。

对偶关系是对称的，可以将线性泛函记作 $f(x)=⟨f,x⟩$ 更好地表示其双线性（Bilinear）。对于有限维的线性空间 $V$，其对偶空间 $V^{\ast }$ 与之同构，可以不严谨地将 $x\in V$ 和 $f\in V^{\ast }$ 放在同一个空间中。

对偶格

格（lattice）是线性空间 ${\mathbb{R}}^m$ 中的离散子空间，于是它是一个线性空间（无限的阿贝尔群）。

格 $\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^m$ ，格基 $B\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$\dim \Lambda =n\le m$，它的对偶定义为集合
Λ ⊥ = { y ∈ S p a n ( Λ ) : ∀ x ∈ Λ , ⟨ x , y ⟩ ∈ Z } \Lambda^\perp=\{y \in Span(\Lambda):\forall x \in \Lambda,\langle x,y \rangle \in \mathbb Z\} Λ⊥={y∈Span(Λ):∀x∈Λ,⟨x,y⟩∈Z}

它是对偶格（dual lattice），格基 $D=B(B^{T}B{)}^{-1}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，易知 $\dim {\Lambda }^{\perp }=\dim \Lambda$

两者的关系：

1. 格基互为伪逆，$B^{T}D=D^{T}B=I$
2. 常数 $c>0$，那么 $(c\cdot \Lambda {)}^{\perp }=\frac{1}{c}\cdot \Lambda$
3. 如果 $Span({\Lambda }_1)=Span({\Lambda }_1)$，那么 ${\Lambda }_1\subseteq {\Lambda }_2⟺{\Lambda }_1^{\perp }\supseteq {\Lambda }_2^{\perp }$
4. 格越稀疏，其对偶越密集，$\det ({\Lambda }^{\perp })=1/\det (\Lambda )$
5. 与对偶空间不同，格的 bidual 恰好是本身，$({\Lambda }^{\perp }{)}^{\perp }=\Lambda$

对偶格的理解，

• 视为 LAC 群：线性空间 $G={\mathbb{R}}^m$ 是一个 LAC 群，格 $\Lambda$ 是一个闭子群，考虑商群 $\mathcal{P}=G/\Lambda$（格的 Parallelepiped）。根据 Pontryagin 对偶定理，对偶格 ${\Lambda }^{\perp }$ 定义为：满足 $\hat{\mathcal{P}}\cong {\Lambda }^{\perp }$ 的对偶群闭子群 ${\Lambda }^{\perp }\subset \hat{G}$
• 视为对偶空间：离散子空间 $\Lambda \subset {\mathbb{R}}^m$ 是一个 $\mathbb{Z}$-子模，所有的线性映射 $y:x\in \Lambda \mapsto ⟨x,y⟩\in \mathbb{Z}$ 组成了对偶空间 $Hom({\mathbb{R}}^m,\mathbb{R})$ 的离散 $\mathbb{Z}$-子模，定义为对偶格。