【收录 Hello 算法】2.4 空间复杂度（常数阶、线性阶、平方阶、指数阶、对数阶）

2.4 空间复杂度

2.4.1 算法相关空间

2.4.2 推算方法

2.4.3 常见类型

1. 常数阶 𝑂(1)

2. 线性阶 𝑂(𝑛)

3. 平方阶 𝑂(𝑛2)

4. 指数阶 𝑂(2𝑛)

5. 对数阶 𝑂(log⁡𝑛)

2.4.4 权衡时间与空间

2.4 空间复杂度

空间复杂度（space complexity）用于衡量算法占用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似，只需将“运行时间”替换为“占用内存空间”。

2.4.1 算法相关空间

算法在运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种。

输入空间：用于存储算法的输入数据。
暂存空间：用于存储算法在运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据。
输出空间：用于存储算法的输出数据。

一般情况下，空间复杂度的统计范围是“暂存空间”加上“输出空间”。

暂存空间可以进一步划分为三个部分。

暂存数据：用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
栈帧空间：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
指令空间：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。

在分析一段程序的空间复杂度时，我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分，如图 2-15 所示。

算法使用的相关空间

图 2-15 算法使用的相关空间

2.4.2 推算方法

空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只需将统计对象从“操作数量”转为“使用空间大小”。

而与时间复杂度不同的是，我们通常只关注最差空间复杂度。这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

观察以下代码，最差空间复杂度中的“最差”有两层含义。

以最差输入数据为准：当 𝑛<10 时，空间复杂度为 𝑂(1) ；但当 𝑛>10 时，初始化的数组 nums 占用 𝑂(𝑛) 空间，因此最差空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。
以算法运行中的峰值内存为准：例如，程序在执行最后一行之前，占用 𝑂(1) 空间；当初始化数组 nums 时，程序占用 𝑂(𝑛) 空间，因此最差空间复杂度为 𝑂(𝑛) 。

void algorithm(int n) {int a = 0;               // O(1)vector<int> b(10000);    // O(1)if (n > 10)vector<int> nums(n); // O(n)
}

在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。观察以下代码：

int func() {// 执行某些操作return 0;
}
/* 循环的空间复杂度为 O(1) */
void loop(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {func();}
}
/* 递归的空间复杂度为 O(n) */
void recur(int n) {if (n == 1) return;return recur(n - 1);
}

函数 loop() 和 recur() 的时间复杂度都为 𝑂(𝑛) ，但空间复杂度不同。

函数 loop() 在循环中调用了 𝑛 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 𝑂(1) 。
递归函数 recur() 在运行过程中会同时存在 𝑛 个未返回的 recur() ，从而占用 𝑂(𝑛) 的栈帧空间。

2.4.3 常见类型

设输入数据大小为 𝑛 ，图 2-16 展示了常见的空间复杂度类型（从低到高排列）。

常数阶对数阶线性阶平方阶指数阶常数阶对数阶线性阶平方阶指数阶𝑂(1)<𝑂(log⁡𝑛)<𝑂(𝑛)<𝑂(𝑛2)<𝑂(2𝑛)常数阶<对数阶<线性阶<平方阶<指数阶

常见的空间复杂度类型

图 2-16 常见的空间复杂度类型

1. 常数阶 𝑂(1)

常数阶常见于数量与输入数据大小 𝑛 无关的常量、变量、对象。

需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，因此不会累积占用空间，空间复杂度仍为 𝑂(1) ：

space_complexity.cpp

/* 函数 */
int func() {// 执行某些操作return 0;
}/* 常数阶 */
void constant(int n) {// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间const int a = 0;int b = 0;vector<int> nums(10000);ListNode node(0);// 循环中的变量占用 O(1) 空间for (int i = 0; i < n; i++) {int c = 0;}// 循环中的函数占用 O(1) 空间for (int i = 0; i < n; i++) {func();}
}

2. 线性阶 𝑂(𝑛)

线性阶常见于元素数量与 𝑛 成正比的数组、链表、栈、队列等：

space_complexity.cpp

/* 线性阶 */
void linear(int n) {// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间vector<int> nums(n);// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间vector<ListNode> nodes;for (int i = 0; i < n; i++) {nodes.push_back(ListNode(i));}// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间unordered_map<int, string> map;for (int i = 0; i < n; i++) {map[i] = to_string(i);}
}

如图 2-17 所示，此函数的递归深度为 𝑛 ，即同时存在 𝑛 个未返回的 linear_recur() 函数，使用 𝑂(𝑛) 大小的栈帧空间：

space_complexity.cpp

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {cout << "递归 n = " << n << endl;if (n == 1)return;linearRecur(n - 1);
}

递归函数产生的线性阶空间复杂度

图 2-17 递归函数产生的线性阶空间复杂度

3. 平方阶 𝑂(𝑛2)

平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 𝑛 成平方关系：

space_complexity.cpp

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {// 二维列表占用 O(n^2) 空间vector<vector<int>> numMatrix;for (int i = 0; i < n; i++) {vector<int> tmp;for (int j = 0; j < n; j++) {tmp.push_back(0);}numMatrix.push_back(tmp);}
}

如图 2-18 所示，该函数的递归深度为 𝑛 ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 𝑛、𝑛−1、…、2、1 ，平均长度为 𝑛/2 ，因此总体占用 𝑂(𝑛2) 空间：

space_complexity.cpp

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {if (n <= 0)return 0;vector<int> nums(n);cout << "递归 n = " << n << " 中的 nums 长度 = " << nums.size() << endl;return quadraticRecur(n - 1);
}

递归函数产生的平方阶空间复杂度

图 2-18 递归函数产生的平方阶空间复杂度

4. 指数阶 𝑂(2𝑛)

指数阶常见于二叉树。观察图 2-19 ，层数为 𝑛 的“满二叉树”的节点数量为 2𝑛−1 ，占用 𝑂(2𝑛) 空间：

space_complexity.cpp

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode *buildTree(int n) {if (n == 0)return nullptr;TreeNode *root = new TreeNode(0);root->left = buildTree(n - 1);root->right = buildTree(n - 1);return root;
}

满二叉树产生的指数阶空间复杂度