【C语言视角】数据结构之~二叉树

前言：总所周知~数据结构的二叉树对于初学者来说是一个十分难理解的知识点。接下来，请阅读本人对二叉树拙劣的理解~

1.二叉树概念及结构和性质

二叉树的结构

二叉树的存储结构

2.二叉树顺序结构

3.二叉树链式结构的实现

二叉树层序遍历

1.二叉树概念及结构和性质

1.1二叉树的概念

二叉树(Binary Tree)：是n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

总而言之满足以下两个条件的树就是二叉树：

        1、本身是有序树；
        2、树中包含的各个结点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

1.2二叉树的结构

由上图可得：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

1.3二叉树的性质

1：在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点（i≥1）。
第一层是根结点，只有一个，所以2(1-1）=20=1。第二层有两个，2(2-1)=21=2。第三层有四个，2(3-1)=22=4。第四层有八个，2(4-1)=2^3=8。

2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）。
注意这里一定要看清楚，是2k后再减去1，而不是2(k-1)。以前很多同学不能完全理解，这样去记忆，就容易把性质2与性质1给弄混淆了。深度为k意思就是有k层的二叉树，我们先来看看简单的。如果有一层，至多1=21-1个结点。如果有二层，至多1+2=3=22-1个结点。如果有三层，至多1+2+4=7=23-1个结点。如果有四层，至多1+2+4+8=15=2^4-1个结点。

3：对任何一棵二叉树，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n1为度是1的结点数。则树T结点总数n=n0+n1+n2
终端结点数其实就是叶子结点数，而一棵二叉树，除了叶子结点外，剩下的就是度为1或2的结点数了，我们设n1为度是1的结点数。则树T结点总数n=n0+n1+n2 。

4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log（2^n）+1| (向下取整)。
由满二叉树的定义我们可以知道，深度为k的满二叉树的结点数n一定是2k-1。因为这是最多的结点个数。那么对于n=2k-1倒推得到满二叉树的深度为k=log2(n＋1)，比如结点数为15的满二叉树，深度为4。

5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为|log（2^n）+1|）的结点按层序编号（从第一层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n），有
1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。
2．如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3．如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

2.二叉树顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的 数组 来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.二叉树链式结构的实现

从概念出发，二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

二叉树的遍历

二叉树遍历分有三种遍历，分别是前序、中序以及后序遍历

所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

我们从图片分析二叉树是如何进行前序遍历的~

前序遍历的代码如下：

//前序遍历
void PreOrderTraverse(BTree T){if(T == NULL)return;printf("%d",T->data);PreOrderTraverse(T->LChild);PreOrderTraverse(T->RChild);
}

中序/后序遍历跟前序遍历差不多，差异点就在如何显示根的位置~

二叉树层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

以下有几道题目可供大家进一步理解哦~

练习：请写出下面的前序 / 中序 / 后序 / 层序遍历

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为（）

A E

B F

C G

D H

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ____ 。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列

为

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDE