实验类型：●验证性实验 ○综合性实验 ○设计性实验
实验目的：进一步熟练掌握Lagrange插值算法、Newton插值算法，提高编程能力和解决插值问题的实践技能。
实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。
实验报告打印和装订顺序要求
实验报告打印要求：在A4纸上将实验报告的Word文档双面打印；打印的字迹要清晰，报告内容文字或截图上的文字打印后，要确保字迹清晰可见，若字迹不清影响评阅，报告得分将酌情扣减。
实验报告装订顺序：
- 实验任务（本文档版式不得做任何改动）；
- 实验报告正文（Word文档）；
- 可以将A4纸上详细手工计算过程拍照成JPG图片插入在实验报告的word 电子版中随Word文档双面打印。
实验总结 (学会了......; 掌握了......; 训练了......; 发现了......; 今后学习中......有待提高。）
程序代码（MATLAB程序）
电子报告word文件命名规则：专业班级-完整学号-实验X-姓名.doc, 如信息123班学号为201212030315的郭海涛同学实验2报告word文件命名则应是：信息123-201212030315-实验2-郭海涛.doc, 其中 .doc是Word文件扩展名。
特别提醒：学委负责检查电子文件命名规范，命名不规的将不接收。每人必需提交电子报告和纸质报告各一份(两者内容一致)。本实验任务书版式不得做任何改动。电子报告以班为单位提交压缩包.
此页之前的内容为实验任务内容，实验任务内容及其版式不得做任何更改；实验报告从下页开始编写排版。
手工计算例题：已知表sin =0.5000，sin =0.7071，sin =0.8660，分别由
1.Lagrange线性插值手工计算sin 的近似值
2.Lagrange二次插值手工计算sin 的近似值
3.一次Newton插值多项式手工计算sin 的近似值
4.二次Newton插值多项式手工计算sin 的近似值
实验代码：
拉格朗日插值法：
function lag()
% 已知数据点
nodes = [pi/6, 0.5; pi/4, 0.7071];
% 计算插值多项式的系数
coefficients = lagrange_coefficients(nodes);
% 打印多项式系数
disp("L1(x) = ");
disp(coefficients);
% 画出函数图像
x_values = linspace(0, 2*pi, 100);
y_values = sin(x_values);
interpolated_y_values = polyval(coefficients, x_values);
plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x_values, interpolated_y_values, 'r--', 'LineWidth', 2);
scatter(nodes(:,1), nodes(:,2), 'k', 'filled');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Lagrange Interpolation');
legend('sin(x)', 'L1=(x)', 'Interpolation Points');
grid on;
hold off;
end
function coefficients = lagrange_coefficients(nodes)
n = size(nodes, 1) - 1;
coefficients = zeros(1, n+1);
for i = 1:n+1
numerator = 1;
denominator = 1;
for j = 1:n+1
if j ~= i
numerator = conv(numerator, poly(nodes(j, 1)));
denominator = denominator * (nodes(i, 1) - nodes(j, 1));
end
end
coefficients = coefficients + nodes(i, 2) * numerator / denominator;
end
end
代码每次求一个结果，需要每次加入一个点，并将Li（x）改为对应的内容即可。
依此加入的点为（pi/3,0.8660）,（pi/5,0.58779）
牛顿插值法：
function new()
% 已知数据点
nodes = [pi/6, 0.5; pi/4, 0.7071];
% 计算差商表
F = divided_difference(nodes);
% 计算插值多项式的系数
coefficients_N1 = F(1:2,:);
% 打印多项式系数
disp("N1(x) = ");
disp(coefficients_N1);
% 画出函数图像
x_values = linspace(0, 2*pi, 100);
y_values = sin(x_values);
interpolated_y_values_N1 = newton_interpolation_polynomial(coefficients_N1, nodes(1:2,1), x_values);
plot(x_values, y_values, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x_values, interpolated_y_values_N1, 'r--', 'LineWidth', 2);
scatter(nodes(:,1), nodes(:,2), 'k', 'filled');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Newton Interpolation (N1)');
legend('sin(x)', 'N1(x)', 'Interpolation Points');
grid on;
hold off;
end
function F = divided_difference(nodes)
n = size(nodes, 1);
F = zeros(n);
F(:,1) = nodes(:,2);
for j = 2:n
for i = j:n
F(i,j) = (F(i,j-1) - F(i-1,j-1)) / (nodes(i,1) - nodes(i-j+1,1));
end
end
end
function y = newton_interpolation_polynomial(coefficients, nodes_x, x)
n = length(coefficients) - 1;
y = zeros(size(x));
for k = 1:length(x)
p = 1;
for j = 1:n
p = p * (x(k) - nodes_x(j));
end
y(k) = coefficients(1);
for j = 1:n
y(k) = y(k) + coefficients(j+1) * p;
p = p / (x(k) - nodes_x(j));
end
end
end
代码每次求一个结果，需要每次加入一个点，并将Ni（x）改为对应的内容即可。
依此加入的点为（pi/3,0.8660）,（pi/5,0.58779）
上述代码仅供参考
| 一次插值 | 二次插值 | 三次插值 | |
| 手工计算结果 | 0.79106，0.08580 | -0.35162，1.25133，-0.05880 | |
| matlab结果 | 0.7911，0.0858 | -0.3516，1.2513， -0.0588 | -0.1210，-0.0664，1.0356，-0.0067 |
手工计算结果保留五位小数，四舍五入后，经过比对小数点后四位，发现两者结果完全一致。
牛顿插值法的Matlab运行结果与手工计算对比：
| 一次插值 | 二次插值 | 三次插值 | |
| 手工计算结果 | 0.5000，0.79106 | 0.5000，0.79106， -0.35162 | |
| matlab结果 | 0.5000，0.7911 | 0.5000，0.7911， -0.3516 | 0.5000，0.7911， -0.3516，-0.1210 |
手工计算结果保留五位小数，四舍五入后，经过比对小数点后四位，发现两者结果完全一致。
实验总结：
在这次实验中，我学会了使用拉格朗日线性插值法和拉格朗日二次插值法、一次牛顿插值多项式和二次牛顿插值多项式的方法来求某点的近似值。通过实践，我掌握了拉格朗日插值和牛顿插值方法的原理和实现步骤。
通过编写 MATLAB 程序，我训练了插值算法的实现，并成功进行了数据插值和函数逼近。
在实验中，我发现了在插值过程中需要注意确保基函数的正确性和数据点的选择。通过不断练习和调试，我更加熟练地掌握了这些插值方法的实现和应用。
通过这次实验，我发现了在插值过程中需要注意选择合适的插值节点和插值多项式的阶数，以及对数据集进行适当的预处理。我也发现了在实现插值算法时，需要注意避免数值稳定性和效率方面的问题，如矩阵求解时的条件数和插值多项式的次数。
在今后的学习中，我将继续加强对插值方法的理解，并尝试将其应用于更加复杂的数据集和问题中，以提高算法的适用性和准确性。
