由于电机处于高速旋转运动状态，在 abc 三相静止坐标系（自然坐标系）所建立的 PMSM 数学模型，存在复杂的变量耦合，难以分析和求解。

通过数学变换将 abc 三相静止坐标系转换到 αβ两相静止坐标系 和 dq 同步旋转坐标系，可以对模型进行解耦和简化。本节讨论坐标系变换的模型与仿真。

1. Clarke 变换的模型与仿真

1.1 Clarke 变换

通过Clarke变换（有些文献也写作 Clark 变换）将 abc 三相静止坐标系转换到 αβ两相静止坐标系，记为 $T_{3s/2s}$。

两相静止坐标系中的信号相互正交，更容易分离基波分量和谐波分量。对于 PMSM，假设虚拟电机有两个虚拟绕组，呈90°轴距分布，在定子槽中呈正弦分布，这两个绕组分别为直轴绕组和交轴绕组，即α，β轴。为简化分析过程，可以在建立αβ静止坐标系时将α轴与abc静止坐标系的a相轴重合。

Clarke 变换公式如下。通过 Clarke 变换，将abc三相静止坐标系下的 fa,fb,fc 分别映射到α-β轴上，得到αβ两相静止坐标系下的虚拟物理量 fα, fβ。

$$[f_{\alpha },f_{\beta },f_0{]}^T=T_{3s/2s}[f_a,f_b,f_c{]}^T$$
$$T_{3s/2s}=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

$f$ 表示电压$u$，电流$i$，磁链 $\psi$等时变变量，例如：

$$\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\\ i_o\end{array}\right]=T_{3s/2s}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -1/2& -1/2\\ 0& \sqrt{3}/2& -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$

式中，$i_0$ 为零序分量。

Clarke变换的逆变换，称为反Clarke变换（用T2s/3s表示）。

$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=T_{2s/3s}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ u_o\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& \sqrt{2}/2\\ -1/2& \sqrt{3}/2& \sqrt{2}/2\\ -1/2& -\sqrt{3}/2& \sqrt{2}/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\\ u_o\end{array}\right]$$

1.2 Clarke 变换的仿真模型

根据 Clarke 变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立 Clarke 变换的仿真模型。
（1）新建模型：打开Matlab软件，在Simulink模型编辑界面中新建“空白模型”。
（2）添加模块：打开库浏览器，从Simulink、Simscape\Electrical\Specialized Power Systems等标准库中依次选取模块。按照设计计算结果设置模块参数。用户也可以直接在模型编辑界面中，双击鼠标左键调出“搜索模块”弹窗，输入模块名称，直接选择和添加模块。
（3）搭建模型：按照电路原理图连接各模块，搭建Buck变换电路的仿真模型。
（4）信号监测：使用信号标记模块goto、信号分解模块Demux、总线选择模块Bus Select，提取和选择需要观测的信号，作为示波器的输入信号。
（5）模型设置：选择“模型配置参数”，在求解器中选择仿真算法ode23tb(stiff/TR-BDF2)，仿真时间为0.02s。
按照以上步骤，建立 Clarke 变换和反变换的仿真模型（Clarke01.slx），如下图所示。

仿真结果如下图所示。

2. Park 变换的模型与仿真

2.1 Park 变换

通过 Park 变换将 αβ两相静止坐标系 转换到 dq 同步旋转坐标系，记为 $T_{2s/2r}$。

Park 变换公式如下。通过 Park 变换，将αβ两相静止坐标系fα, fβ 分别映射到d-q轴上，得到 dq 同步旋转坐标系下的虚拟物理量 fd, fq。

$$[f_d,f_q{]}^T=T_{2s/2r}[f_{\alpha },f_{\beta }{]}^T$$
$$T_{2s/2r}=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& sin(\theta )\\ -sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$$

$f$ 表示电压$u$，电流$i$，磁链 $\psi$等时变变量，例如：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=T_{2s/2r}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& sin(\theta )\\ -sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]$$

式中，$i_0$ 为零序分量。

Park 变换的逆变换，称为反Park 变换（用T2r/2s表示）。

$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=T_{2r/2s}\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]$$

2.2 Park 变换的仿真模型

根据 Clarke 变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立 Clarke 变换的仿真模型。

仿真结果如下图所示。

由仿真结果可见，经过坐标变换，在dq 同步旋转坐标系中的 Vd, Vq 成为解耦的直流量，便于进行控制。

3. Simscape标准库变换模块

Simscape标准库提供了 abc to Alpha-Beta-Zero模块和 abc to dq0 模块。

3.1 abc to Alpha-Beta-Zero 模块

abc to Alpha-Beta-Zero 模块对三相abc信号进行 Clarke 变换。Alpha-Beta-Zero to abc 模块对 αβ0 分量执行 Clarke 逆变换。

假设ua、ub、uc量表示三个正弦平衡电压：

$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}cos(\omega t)\\ cos(\omega t-2\pi /3)\\ cos(\omega t+2\pi /3)\end{array}\right]$$

则 iα和iβ分量表示旋转空间矢量Is在α轴与相位a轴对齐的固定参考系中的坐标。振幅与三个电流产生的旋转磁动势成正比。

3.2 abc to dq0 模块

abc to dq0 模块 使用Park变换将三相（abc）信号变换为dq0旋转参考系。旋转框架的角位置由输入 wt 给出，单位为rad。
dq0 to abc 模块 使用逆Park变换将dq0旋转参考系变换为三相（abc）信号。旋转框架的角位置由输入 wt 给出，单位为rad。
当wt=0处的旋转帧对齐在相位A轴后90度时，Mag=1且phase=0度的正序信号产生以下dq值：d=1，q=0。

该模块支持用于 Park 变换：

• 当旋转框架在t=0时与相位A轴对齐时，即t=0时，d轴与A轴对齐。这种类型的Park变换也称为余弦型Park变换。
• 当旋转框架在相位A轴后对齐90度时，即t=0时，q轴与A轴对齐。这种类型的公园改造也被称为正弦型Park 变换。在具有三相同步和异步电机的Simscape™Electrical™专用电力系统模型中使用此转换。

通过在三相静止参考系中执行abc到αβ0-Clarke变换，从abc信号中推导出dq0分量。然后在旋转参考系中执行αβ0到dq0的变换，即通过对空间向量Us=uα+j·uβ执行−ωt旋转。

abc-to-dq0变换取决于t=0时的dq帧对齐。旋转坐标系的位置由ω.t给出，其中ω表示dq坐标系的旋转速度。

4. 基于 S函数的仿真模型

Matlab/Simulink在Simscape标准库中提供了多种坐标转换模块，使用abc_to_dq0模块可以完成从abc三相静止坐标系到dq旋转参考系的转换。

基于abc_to_dq0模块直接建立的仿真模型更加简洁。对于复杂算法也可以使用Simulink中的S函数建立仿真模型，如下图所示。

参考文献：袁雷等，现代永磁同步电机控制原理及MATLAB仿真，北京航空航天大学出版社，2016