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目录
1. ⼆叉搜索树的概念
2. ⼆叉搜索树的性能分析
3.⼆叉搜索树key和key/value
key搜索场景
key/value搜索场景
4. 二叉搜索树的代码实现
4.1 ⼆叉搜索树的插⼊
4.2 ⼆叉搜索树的查找
4.3 ⼆叉搜索树的删除
4.4完整代码实现
1. ⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
•⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等
值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
2. ⼆叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，时间复杂度为： O(logN)
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，时间复杂度为： O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的。平衡二叉搜索树AVL树和红⿊树，会更适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数
据。
这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
3.⼆叉搜索树key和key/value
key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
4. 二叉搜索树的代码实现
4.1 ⼆叉搜索树的插⼊
插⼊的具体过程如下：
1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
bool Insert(const K& key, const V& value) {if (_root == nullptr) {_root =new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if ( key>cur->_key) {parent = cur;cur = cur->right;}else if(key <cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else {return false;}}if (parent->left == nullptr) {parent->left = new Node(key, value);}else {parent->right = new Node(key, value);}return true;}4.2 ⼆叉搜索树的查找
1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。
Node* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key < cur->_key) {cur = cur->left;}else if (key > cur->_key) {cur = cur->right;}else {return cur;}}return nullptr;}4.3 ⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
4.4完整代码实现
#include <iostream>
using namespace std;template<class K, class V>
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K, V>* left;BSTreeNode<K, V>* right;K _key;V _value;BSTreeNode(K key,V value):left(nullptr),right(nullptr),_key(key),_value(value){}};template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const K& key, const V& value) {if (_root == nullptr) {_root =new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if ( key>cur->_key) {parent = cur;cur = cur->right;}else if(key <cur->_key){parent = cur;cur = cur->left;}else {return false;}}if (parent->_key >key) {parent->left = new Node(key, value);}else {parent->right = new Node(key, value);}return true;}Node* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key < cur->_key) {cur = cur->left;}else if (key > cur->_key) {cur = cur->right;}else {return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key) {Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->left;}else{if (cur->left == nullptr) {if (cur == _root){_root = cur->right;}else {if (parent->left == cur) {parent->left = cur->right;delete cur;}else {parent->right = cur->right;delete cur;}}}else if (cur->right == nullptr) {if (cur == _root){_root = cur->left;}else {if (parent->left == cur) {parent->left = cur->left;delete cur;}else {parent->right = cur->left;delete cur;}}}else {Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->right;while (replace->left) {replaceParent = replace;replace = replace->left;}cur->_key = replace->_key;if (replaceParent->left == replace)replaceParent->left = replace->right;elsereplaceParent->right = replace->right;delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder() {_InOrder(_root);cout << endl;}
private:Node* _root = nullptr;void _InOrder(Node* root) {if (root == nullptr) {return;}_InOrder(root->left);cout << root->_key <<":" << root->_value << " " ;_InOrder(root->right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}
};
