本文讨论针对一维均匀线阵（ULA，Uniform Linear Array）的空间平滑 MUSIC（SS-MUSIC，Spatial Smoothing MUSIC）算法¹²，同时为了方便公式推导，后续的模型建立在无噪环境下。

相干信号源带来的缺秩问题

  假设 $K>1$ 个信号源为同一组完全相干的信号源，即 $s_k(t)=c_k{s}_1(t)$，其中 $k=2,\cdots ,K$ 以及 $t=1,\cdots ,T$。令 $\mathbf{c}=[1,c_2,\cdots ,c_K{]}^T\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 可得到：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}& =\frac{1}{T}\mathbf{S}{\mathbf{S}}^H\\ & =\frac{1}{T}\mathbf{c}{\mathbf{s}}_1{\mathbf{s}}_1^H{\mathbf{c}}^H\\ & ={\sigma }_1^2\mathbf{c}{\mathbf{c}}^H\end{array}$$
其中 ${\mathbf{s}}_1\in {\mathbb{C}}^{1\times T}$ 代表第一个阵元的采样序列。为了简化后续推导，我们令 ${\sigma }_1^2=1$ 即可得到 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}=\mathbf{c}{\mathbf{c}}^H\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$，因此 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{s}})=1<K$，即 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}$ 不满秩，此时直接对 $\mathbf{R}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}{\mathbf{A}}^H$ 进行 MUSIC 估计会失效。

什么是中心对称阵列

  中心对称阵列（Centro-Symmetric Array）是指空间中存在一个参考点，使得每个阵元在关于该参考点的对称位置上，都有另一个相对应的阵元。ULA 就是最经典的一维中心对称阵列，对于 ULA 而言，该参考点就是阵列的中心点。假设空间中存在一组由 $M$ 个阵元组成的 ULA，其坐标索引为 { 0 , 1 , ⋯ , M − 1 } \{0,1,\cdots,M-1\} {0,1,⋯,M−1}，此时方向矢量 $\mathbf{a}(\phi )\in {\mathbb{C}}^{M\times 1}$ 可表示如下：
$$\mathbf{a}(\phi )=\left[\begin{array}{c}1\\ e^{-\mathrm{j}\phi }\\ ⋮\\ e^{-\mathrm{j}(M-1)\phi }\end{array}\right]$$
其中 $\phi =2\pi d\sin (\theta )/\lambda$，$d$ 为相邻阵元的间距，以及 $\lambda$ 为信号波长。方向矢量矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{C}}^{M\times K}$ 可表示如下：
$$\mathbf{A}=[\mathbf{a}({\phi }_1),\mathbf{a}({\phi }_2),\cdots ,\mathbf{a}({\phi }_K)]$$
  ULA 的方向矢量 $\mathbf{a}(\phi )$ 满足下式：
$$\mathbf{Ja}(\phi )=e^{-\mathrm{j}(M-1)\phi }{\mathbf{a}}^{\ast }(\phi )$$
其中 $\mathbf{J}\in {\mathbb{R}}^{M\times M}$ 代表反对角矩阵。不难得出 $\mathbf{A}$ 满足下式：
$$\mathbf{JA}={\mathbf{A}}^{\ast }{\Phi }^{M-1}$$
其中 $\Phi \in {\mathbb{C}}^{K\times K}$ 为对角矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{ccc}{e}^{-\mathrm{j}{\phi }_1}& & \\ & \ddots & \\ & & e^{-\mathrm{j}{\phi }_K}\end{array}\right]$$

什么是前后向平均技术

  前后向平均（Forward Backward Averaging）技术针对中心对称阵列，前后向协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}$ 表示如下：
$${\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}=\frac{1}{2}({\mathbf{R}}_{\mathrm{f}}+{\mathbf{R}}_{\mathrm{b}})=\frac{1}{2}(\mathbf{R}+\mathbf{J}{\mathbf{R}}^{\ast }\mathbf{J})$$
其中 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{f}}=\mathbf{R}$ 和 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{b}}=\mathbf{J}{\mathbf{R}}^{\ast }\mathbf{J}$ 分别表示为前向协方差矩阵和后向协方差矩阵。代入 $\mathbf{R}=\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}{\mathbf{A}}^H$ 可得到：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}& =\frac{1}{2}(\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}{\mathbf{A}}^H+\mathbf{J}{\mathbf{A}}^{\ast }{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\mathbf{A}}^T\mathbf{J})\\ & =\frac{1}{2}(\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}{\mathbf{A}}^H+\mathbf{A}{\Phi }^{M-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\Phi }^{1-M}{\mathbf{A}}^H)\\ & =\frac{1}{2}\mathbf{A}({\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}+{\Phi }^{M-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\Phi }^{1-M}){\mathbf{A}}^H\\ & =\frac{1}{2}\mathbf{A}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}{\mathbf{A}}^H\end{array}$$
其中 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}={\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}+{\Phi }^{M-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\Phi }^{1-M}$。同理可得到：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}& ={\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}\\ {\mathbf{R}}_{\mathrm{bs}}& ={\Phi }^{M-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\Phi }^{1-M}\end{array}$$

  从前面相干信号的讨论中，已知 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{s}})=1$，即 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}})=\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{bs}})=1$，然而 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}$ 的秩并不为 $1$，具体推导如下：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}& ={\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}+{\Phi }^{M-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}^{\ast }{\Phi }^{1-M}\\ & =\mathbf{Ic}{\mathbf{c}}^H\mathbf{I}+{\Phi }^{M-1}\mathbf{c}{\mathbf{c}}^H{\Phi }^{1-M}\\ & =C11^T{\mathbf{C}}^H+\mathbf{C}{\Phi }_{M-1}{\Phi }_{M-1}^H{\mathbf{C}}^H\\ & =\mathbf{C}\left[\begin{array}{cc}1& {\Phi }_{M-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{1}^T\\ {\Phi }_{M-1}^H\end{array}\right]{\mathbf{C}}^H\end{array}$$
其中 $\mathbf{C}\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$ 代表 $\mathbf{c}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 的对角形式，${\Phi }_{M-1}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 代表 ${\Phi }^{M-1}\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$ 对角元素的向量形式，$\mathbf{I}$ 代表单位矩阵，以及 $1$ 代表全 $1$ 向量。显然 $[1{\Phi }_{M-1}]\in {\mathbb{C}}^{K\times 2}$ 的列线性无关，因此 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}})=2$。

什么是 SS-MUSIC 算法

  SS-MUSIC 算法提出切分子阵列的方式来解相干，首先将原阵列视为阵元数为 $M$ 的单个连续阵列，则 SS-MUSIC 将原阵列切分为 $N$ 个连续子阵列，其中每个子阵列有 $P$ 个阵元。第一个子阵列包括原阵列中前 $1\sim P$ 个阵元，第二个子阵列包括原阵列中前 $2\sim P+1$ 个阵元。不难看出 $M=N+P-1$。切分阵列后，再通过子阵列的互相关矩阵来进行累加，即可得到空间平滑结果。
  SS-MUSIC 又可以细分为 FSS-MUSIC、BSS-MUSIC 和 FBSS-MUSIC，它们分别针对 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{f}}$、${\mathbf{R}}_{\mathrm{b}}$ 和 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}$ 进行子阵列切分操作，通常情况下 FBSS-MUSIC 是最优选择。FSS-MUSIC、BSS-MUSIC 和 FBSS-MUSIC 的空间平滑结果如下：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[{\mathbf{R}}_{\mathrm{f}}{]}_{ii}\\ {\mathbf{R}}_{\mathrm{bss}}& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[{\mathbf{R}}_{\mathrm{b}}{]}_{ii}\\ {\mathbf{R}}_{\mathrm{fbss}}& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[{\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}{]}_{ii}\end{array}$$
其中 $[\mathbf{R}{]}_{ij}\in {\mathbb{C}}^{P\times P}$ 表示第 $i$ 个子阵列和第 $j$ 个子阵列的相关矩阵：
$$[\mathbf{R}{]}_{ij}={\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}{\Phi }^{i-1}\mathbf{R}{\Phi }^{1-j}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H$$
其中 $i=1,\cdots ,N$，$j=1,\cdots ,N$ 且 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}$ 表示 $\mathbf{A}$ 的前 $P$ 行。如此得到的 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}$、${\mathbf{R}}_{\mathrm{bss}}$ 和 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fbss}}$ 可直接用于 MUSIC 估计。

SS-MUSIC 能解相干的原因

  相干信号源带来的问题是信号协方差矩阵 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}$ 的秩降低了，因此 SS-MUSIC 的工作便是将 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{s}}$ 的秩恢复为 $K$，以 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}$ 为例：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[{\mathbf{R}}_{\mathrm{f}}{]}_{ii}\\ & =\frac{1}{N}\left({\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H+\cdots +{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}{\Phi }^{N-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}{\Phi }^{1-N}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\right)\\ & =\frac{1}{N}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}\left(\sum _{i=1}^N{\Phi }^{i-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}{\Phi }^{1-i}\right){\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\end{array}$$
由于 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{fs}}=\mathbf{c}{\mathbf{c}}^H$，我们得到：
$${\Phi }^{i-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}{\Phi }^{1-i}=\mathbf{C}{\Phi }_{i-1}{\Phi }_{i-1}^H{\mathbf{C}}^H$$
其中 $\mathbf{C}\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$ 代表 $\mathbf{c}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 的对角形式，${\Phi }_{i-1}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$ 代表 ${\Phi }^{i-1}\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$ 对角元素的向量形式。
  进一步化简：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}& =\frac{1}{N}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}\left(\sum _{i=1}^N{\Phi }^{i-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}}{\Phi }^{1-i}\right){\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\\ & =\frac{1}{N}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}\mathbf{C}\left(\sum _{i=1}^N{\Phi }_{i-1}{\Phi }_{i-1}^H\right){\mathbf{C}}^H{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\\ & =\frac{1}{N}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}\mathbf{C}{\mathbf{A}}_{\mathrm{N}}^H{\mathbf{A}}_{\mathrm{N}}{\mathbf{C}}^H{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\end{array}$$
其中 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{N}}\in {\mathbb{C}}^{N\times K}$ 代表 $\mathbf{A}$ 的前 $N$ 行。通过对 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}$ 的推导，我们不难得出结论：每一次的累加，均使得 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}$ 的秩恢复 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fs}})=1$ 个，故而最后 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}})=\min (P-1,N,K)$。因此为了让 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fss}}$ 的秩恢复为 $K$，需要保证 $N\ge K$ 和 $P>K$ 成立。结合 $M=N+P-1$ 我们将得到：
$$K\le \frac{1}{2}M$$
即 FSS-MUSIC 至多能估计 $\frac{1}{2}M$ 个同组的相干信号源。同理 BSS-MUSIC 也一样。
  相比于 FSS-MUSIC 和 BSS-MUSIC，FBSS-MUSIC 有更高的自由度。每一次的累加，均使得 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fbss}}$ 的秩恢复 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}})=2$ 个，故而最后 $\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_{\mathrm{fbss}})=\min (P-1,2N,K)$。因此为了让 ${\mathbf{R}}_{\mathrm{fbss}}$ 的秩恢复为 $K$，需要保证 $2N\ge K$ 和 $P>K$ 成立。结合 $M=N+P-1$ 我们将得到：
$$K\le \frac{2}{3}M$$
即 FBSS-MUSIC 至多能估计 $\frac{2}{3}M$ 个同组的相干信号源。

SS-MUSIC 改进算法

  实质上，SS-MUSIC 将协方差矩阵 $\mathbf{R}$ 进行分块，并取属于对角位置的子矩阵进行累加，只要累加的次数足够，即可将内部信号协方差的秩恢复为 $K$。IFBSS-MUSIC³（Improved FBSS-MUSIC）利用非对角位置的子矩阵进行计算：
$${\mathbf{R}}_{\mathrm{ifbss}}=\frac{1}{N^2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[{\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}{]}_{ij}[{\mathbf{R}}_{\mathrm{fb}}{]}_{ji}$$
进一步可得到：
$$\begin{array}{r}{\mathbf{R}}_{\mathrm{ifbss}}=\frac{1}{N^2}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}\left[\sum _{i=1}^N{\Phi }^{i-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}\left(\sum _{j=1}^N{\Phi }^{1-j}{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}{\Phi }^{j-1}\right){\mathbf{R}}_{\mathrm{fbs}}{\Phi }^{1-i}\right]{\mathbf{A}}_{\mathrm{P}}^H\end{array}$$

总结

  总的来说，SS-MUSIC 针对于 ULA 实现，而 ULA 属于中心对称阵列，因此结合前后向平均技术可以进一步提升自由度。从上面的讨论可得知，当 $K>1$ 个信号源同属一组相干源，即原协方差矩阵秩为 $1$，前后向平均技术可以实现一定的解相干，即将协方差矩阵的秩恢复为 $2$，但解相干能力有限。SS-MUSIC 牺牲了阵列孔径，但能实现完全解相干。

参考文献

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1. Shan T J, Wax M, Kailath T. On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1985, 33(4): 806-811. ↩︎

2. Pillai S U, Kwon B H. Forward/backward spatial smoothing techniques for coherent signal identification[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989, 37(1): 8-15. ↩︎

3. Du W, Kirlin R L. Improved spatial smoothing techniques for DOA estimation of coherent signals[J]. IEEE Transactions on signal processing, 1991, 39(5): 1208-1210. ↩︎