考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

函数的概念

定义 设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个给定的非空数集，如果对于每个$x\in D$，变量$x$按照一定的对应法则$f$总有一个确定的数值$y$和它对应，则称$y$是$x$的函数，记为$$y=f(x),x\in D$$
其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$D$称为函数的定义域，记作$D_f$，即$D_f=D$.
函数值$f(x)的全体所构成的集合称为函数f$的值域，记作$R_f$或$f(D)$，即
R f = f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\} Rf​=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}

TIPS:

1、函数两个基本要素：定义域D，对应法则f，当两个函数基本要素完全相同时，它们就是同一个函数；
2、定义域需要记住以下准则：分式的分母不为0、$\sqrt[2n]{x}(x\ge 0)$、$lo{g}_a(x)(x>0)$、$\tan x,\sec x(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2})$、$\cot x,\csc x(x\ne k\pi )$、$\arcsin x,\arccos x(1\ge x\ge -1)$

练习：
设函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}+\ln (x-2)$，求$f(x)$的定义域

D=(2,3)

分段函数

有些函数，对其定义域内自变量不同的取值，其对应法则不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的数学式子表示，这类函数称为分段函数。
TIPS:

1、存在两个或两个以上的数学式子表示；
2、是一个函数，而不是多个函数；

分段函数常见的五种形式：
1、函数$$f(x)=\{\begin{array}{l}\sin x/x,x<0\\ x^2+1,x\ge 0\end{array}$$为分段函数，其定义域为$(-\infty ,+\infty )$
2、函数$f(x)=2-|1-x^2|$也是分段函数，可化为
$$f(x)=\{\begin{array}{l}3-x^2,x<-1\\ x^2+1,1\ge x\ge -1\\ 3-x^2,x>1\end{array}$$
3、函数 f ( x ) = m a x { x , x 2 } f(x)=max\{x,x^2\} f(x)=max{x,x2}也是分段函数，可化为
$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le 0\\ x,1>x>0\\ x^2,x\ge 1\end{array}$$
4、符号函数也是分段函数
$$f(x)=sgnx=\{\begin{array}{l}-1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$$
5、取整函数$f(x)=[x]$也是分段函数，$[x]$表示不超过$x$的最大整数

复合函数

设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，值域为$R_g$，若$D_f\cap R_g\ne \varnothing$，则称函数$y=f[g(x)]$为函数 $y=f(u)与u=g(x)$的复合函数，它的定义域为 { x ∣ x ∈ D g , g ( x ) ∈ D f } \{x| x\in D_g,g(x) \in D_f\} {x∣x∈Dg​,g(x)∈Df​}。
TIPS：

不是任何两个函数都可以复合，需要满足$D_f\cap R_g\ne \varnothing$，比如$f(u)=\ln u，u=g(x)=\sin x-1$就不能复合

练习：
1、 已知$$f(x)=\{\begin{array}{l}x+1,-1\le x\le 1\\ x-1,1<x\le 2\end{array}$$
求 $f(\sqrt{x})$的定义域，并求$f(\sqrt{x})$ 的表达式

定义域为[0,4]
表达式$$f(\sqrt{x})=\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+1,0\le x\le 1\\ \sqrt{x}-1,1<x\le 4\end{array}$$

2、已知$f(x-1)=\ln \frac{x}{x-2}$,$f[\phi (x)]=\ln (x)$ ，求$f(x)及\phi (x)$

换元法: $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$
代入法：$\phi (x)=\frac{x+1}{x-1}$

3、 (1990，数一、二)设函数
$$f(x)=\{\begin{array}{l}1,|x|\le 1\\ 0,|x|>0\end{array}$$则函数$f[f(x)]$=

1

4、（1990，数二）设 $$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le 0\\ x^2+x,x>0\end{array}$$则$f(-x)$表达式为？

整体代入法（x替换为-x）：$$f(-x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\ge 0\\ x^2-x,x<0\end{array}$$

反函数

设函数$y=f(x)$的定义域为D，值域为$R_y$，若对任意$y\in R_y$，有唯一确定的$x\in D$,使得$y=f(x)$，则记为$x=f^{-1}(y)$，称其为函数$y=f(x)$的反函数。

TIPS:

1、只有双射才有逆函数
>2、单调函数一定有反函数，但反函数不一定单调，例如$$f(x)=\{\begin{array}{l}x,0\le x<1\\ 3-x,1\le x\le 2\end{array}$$ 有反函数，但不单调
3、通常将$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$写成$y=f^{-1}(x)$，函数与其反函数关于$y=x$对称

练习 1：求函数$y=\frac{e^x}{e^x+1}$的反函数。

$x=\ln \frac{y}{1-y}$

初等函数

基本初等函数：将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数。

1. 幂函数 $y=x^{\mu }(\mu 为实数)$：常见有$y=x、y=x^2、y=x^3、y=\sqrt{x}、y=\sqrt[3]{x}、y=\frac{1}{x}$
2. 指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$：$a>1$,单调增；$0<a<1$，单调减；
3. 对数函数 $y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$：$a>1$,单调增；$0<a<1$，单调减；
4. 三角函数 $y=\sin x、y=\cos x、y=\tan x、y=\cot x、y=\sec x、y=\csc x$：常用关系式$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1 \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x} \\ \sec x=\frac{1}{\cos x} \\ \csc x=\frac{1}{\sin x} \\ {\sec }^{2}x={\tan }^{2}x+1 \\ {\csc }^{2}x={\cot }^{2}x+1 \end{gathered}$$
5. 反三角函数 $y=\arcsin x、y=\arccos x、y=\arctan x、y=arc\cot x$：常用关系式
   $$\begin{gathered} arcsinx+\arccos x=\frac{\pi }{2} \\ \arctan x+arc\cot x=\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

隐函数

设有关系式$F(x,y)=0$，若$\forall x\in D$，存在唯一确定的$y$满足$F(x,y)=0$与$x$相对应，由此确定$y$与$x$的函数关系$y=y(x)$称为由方程$F(x,y)=0$所确定的隐函数。
例如：$F(x,y)=x^2+xy+y^3-3=0$

参数方程确定的函数

有$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)，\\ \alpha \le t\le \beta \\ y=\psi (t)，\end{array}$$ 确定的函数$y=f(x)a，\le a\le b$

幂指函数

$y=u(x{)}^{v(x)}，其中u(x)>0$。幂指函数的讨论常利用恒等式：
$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$$

函数的性质

单调性

定义 设函数$y=f(x)$在某区间$I$上有定义，如果对于区间$I$ 上的任意两点$x_1<x_2$恒有 $f(x_1)<f(x_2)（或f(x_1)>f(x_2)）$，则称$y=f(x)$在该区间内单调增加(或单调减少)。

单调性主要利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判定

奇偶性

定义 设函数$y=f(x)$的定义域D关于原点对称(即若$x\in D$，则有$-x\in D$) ,对于任一$x\in D$ ,如果恒有$$f(-x)=f(x)$$则称$f(x)$为$D$ 上的偶函数；如果恒有$$f(-x)=-f(x)$$则称$f(x)$为$D$ 上的奇函数。
TIPS:

1、奇函数的图形关于坐标原点兑成，偶函数的图形关于$y$轴对称；
2、奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数；
3、偶数个奇函数之积为偶函数，奇函数个奇函数之积为奇函数；
4、两个偶函数的积、商仍为偶函数，两个奇函数的积、商为偶函数；
5、一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数；
6、奇函数$f(x)$若在$x=0$处有定义，则 $f(0)=0$;

常用奇函数：
$$\begin{gathered} \sin x、\tan x、\arcsin x、\arctan x \\ \ln \frac{1-x}{1+x}、\ln x+\sqrt{1+x^2} \\ \frac{e^x-1}{e^x+1}、f(x)-f(-x) \end{gathered}$$
常用偶函数：
$$x^2、|x|、\cos x、f(x)+f(-x)$$

练习1：判断函数$f(x)=\ln (\sqrt{1+x^2}-x)$的奇偶性.

利用定义判定：
1、首先定义域关于原点对称
2、求解f(-x) 与$f(x)$ 对比
答案：奇函数

练习2： 若$g(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内恒有$g(x+y)=g(x)+g(y)$，对任意$x,y$都成立。试判定$f(x)=g(x)\sin x$的奇偶性。

利用性质：
3、偶数个奇函数之积为偶函数，奇函数个奇函数之积为奇函数；
4、两个偶函数的积、商仍为偶函数，两个奇函数的积、商为偶函数；
5、一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数；
解：$g(x)$为奇函数、$\sin x$为奇函数，满足 性质3、4，$f(x)$ 为偶函数

周期性

定义 若存在实数$T>0$，对于任意$x$，恒有$f(x+T)=f(x)$，则称$y=f(x)$为以$T$为周期的周期函数。使得上述关系式成立的最小正数$T$称为$f(x)$的最小正周期，简称为函数$f(x)$的周期。
TIPS:

1、$\sin x和\cos x$以$2\pi$为周期， $\sin 2x、|\sin x|、\tan x、\cot x$以$\pi$为周期；
2、若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期；
3、$f(x)、g(x)$均以$T$为周期，则$f(x)\pm g(x)$也以$T$为周期；
4、$f(x)、g(x)$均以$T_1,T_2$为周期，则$f(x)\pm g(x)$也以$T_1、T_2$的最小公倍数；

练习1： 判定函数$f(x)=\sin 3x-\cos 2x+tan(4x+1)$的周期。

利用性质：
1、$\sin x和\cos x$以$2\pi$为周期， $\sin 2x、|\sin x|、\tan x、\cot x$以$\pi$为周期；
2、若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期；
4、$f(x)、g(x)$均以$T_1,T_2$为周期，则$f(x)\pm g(x)$也以$T_1、T_2$的最小公倍数；
解： $\sin 3x$周期为$\frac{2\pi }{3}$、$\cos 2x$周期为$\pi$、$tan(4x+1)$周期为$\frac{\pi }{4}$，$(\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{\pi }{4})$最小公倍数为$12\pi$

有界性

定义 设$y=f(x)$在集合$X$上有定义，若存在$M>0$，使得对任意的$x\in X$，恒有则称$f(x)$在$X$上为有界函数，否则称$f(x)$在$X$上为无界函数。

如果对任意的$M>0$，至少存在一个$x_0\in X$ ,使得$|f(x_0)|>M$，则$f(x)$为$X$上的无界函数。

TIPS:

1、如果没有指明$x$ 的范围，是指$f(x)$ 在其定义域上为有界函数；
2、如果存在常数$M1和M_2$，使得对任意$x\in X$，都有$M_1\le f(x)\le M_2$，则称$f(x)$在$X$上有界，分别称$M_1和M_2$为$f(x)在X$上的一个下界和上界；

常见的有界函数：
$$\begin{gathered} |\sin x|\le 1、|\cos x|\le 1 \\ |\arcsin x|\le \frac{\pi }{2} \\ 0\le \arccos x\le \pi 、 \\ |\arctan x|<\frac{\pi }{2} \\ 0\le arc\cot x\le \pi \end{gathered}$$
练习 1：判断函数$f(x)=\frac{x+3}{x^2+1}$是否有界。

答案：有界,$|\frac{x+3}{x^2+1}|\le \frac{7}{2}$

练习2：证明函数$f(x)=x\sin x$是无界函数 .

证：令$x=2n\pi +\frac{\pi }{2}$时，$$f(2n\pi +\frac{\pi }{2})=2n\pi +\frac{\pi }{2}$$，所以对于任意的$M>0$，只要正整数$n$充分大，总有
$$f(2n\pi +\frac{\pi }{2})=2n\pi +\frac{\pi }{2}>M$$故函数$f(x)=x\sin x$是无界函数