2.4 卷积1

2.4 卷积

在了解了系统及其脉冲响应之后，人们可能会想知道是否有一种方法可以通过任何给定的输入信号（不仅仅是单位脉冲）确定系统的输出信号。卷积就是这个问题的答案，前提是系统是线性且时不变的（LTI）。

Tips：大概是卷积的意义吧，由输入确定系统的输出。

2.4.1 常规卷积

我们从实际信号和具有实际脉冲响应的LTI系统开始。

假设我们有一个任意信号 $s [n]$ 。然后， $s [n]$ 可以通过以下逻辑分解为平移单位脉冲的缩放和。将 $s [n]$ 与一个单位脉冲相乘，脉冲被平移了 $m$ 个样本，即 $\delta[n - m]$ 。由于 $\delta[n - m]$ 在除了 $n = m$ 之外的所有地方都等于 0，这将使得所有的 $s [n]$ 值在 $\neq m$ 时乘以 0，而在 $n = m$ 时乘以 1。因此，结果序列将在 $n = m$ 处具有一个脉冲，其值等于 $s [m]$ 。这一过程在图2.6中得到了清晰的说明。

图2.6：将信号 $s [n]$ 与一个偏移 $m$ 的单位冲激信号相乘

可以数学地表示为：

$$s[n] \delta[n - m] = s[m] \delta[n - m]$$

用另一个偏移 $m^{'}$ 重复相同的过程，得到：

$$s[n] \delta[n - m'] = s[m'] \delta[n - m']$$

我们说，此时提取出值 $s [m^{'}]$ 。因此，如果这个乘法过程在所有可能的延迟 $-\infty < m < \infty$ 上重复，并且所有生成的信号相加在一起，结果将是序列 $s [n]$ 本身。

$$s[n] = \cdots + s[-2]\delta[n+2] + s[-1]\delta[n+1] + s[0]\delta[n] + s[1]\delta[n-1] + s[2]\delta[n-2] + \cdots$$$$= \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[m] \delta[n-m] \tag{2.3}$$

总结来说，上述方程表明，信号 $s [n]$ 可以表示为加权单位冲激信号的和，其中每个单位冲激信号 $\delta[n - m]$ 的幅度为 $s [m]$ 。这样的和的一个例子如图2.7所示。

图2.7：将信号 $s [n]$ 分解为缩放和偏移的冲激信号

LTI系统对缩放单位冲激的响应

现在考虑当这样的信号作为输入给具有冲激响应 $h [n]$ 的LTI系统时会发生什么。

冲激响应 —— LTI系统对单位冲激 $\delta[n]$ 的响应是 $h [n]$ 。
由于时不变性，系统对一个移位的单位冲激 $\delta[n - m]$ 的响应是 $h [n - m]$ 。
由于线性特性的缩放性质，系统对一个缩放并移位的单位冲激 $\cdot \delta[n - m]$ 的响应是 $\cdot h[n - m]$ 。
由于线性特性的加法性质，系统对多个移位单位冲激的响应是各自输出的总和。

输入 —— 输出对应关系：

输入	输出
$\delta[n]$	$h [n]$
$\delta[n - m]$	$h [n - m]$
$\alpha_1 \cdot \delta[n - m]$	$\alpha_1 \cdot h[n - m]$
$\alpha_2 \cdot \delta[n - m']$	$\alpha_2 \cdot h[n - m']$
$\alpha_1 \cdot \delta[n - m] + \alpha_2 \cdot \delta[n - m']$	$\alpha_1 \cdot h[n - m] + \alpha_2 \cdot h[n - m']$

这导致了一个输入-输出序列为：

$$\begin{aligned} &+ ....... & \rightarrow & \quad ....... \\ &+ \quad s[-2] \cdot \delta[n + 2] & \rightarrow & \quad s[-2] \cdot h[n + 2] \\ &+ \quad s[-1] \cdot \delta[n + 1] & \rightarrow & \quad s[-1] \cdot h[n + 1] \\ &+ \quad s[0] \cdot \delta[n] & \rightarrow & \quad s[0] \cdot h[n] \\ &+ \quad s[1] \cdot \delta[n - 1] & \rightarrow & \quad s[1] \cdot h[n - 1] \\ &+ \quad s[2] \cdot \delta[n - 2] & \rightarrow & \quad s[2] \cdot h[n - 2] \\ &+ \quad ....... & \rightarrow & \quad ....... \\ \end{aligned}$$

最终： $s [n]$ → $\sum_{m=-\infty}^{\infty} s[m] \cdot h[n - m]$

在上面的过程中，我们推导出了著名的卷积方程，用来描述当输入信号 $s [n]$ 经过具有冲激响应 $h [n]$ 的LTI系统时，输出 $r [n]$ 的表达式：

$$r[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[m] \cdot h[n - m] \quad \tag{2.4}$$

其中上面的和式是从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 对每个 $n$ 计算的。在本文中，卷积操作表示为 $*$ ，即：

$$r[n] = s[n] * h[n] \quad \tag{2.5}$$

注意，卷积与相关不同的是：

$$s[n] * h[n] = h[n] * s[n]= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]s[n-m] \tag {2.6}$$

这可以通过在公式 (2.4) 中代入 $p = n - m$ 来验证，得到 $m = n - p$ ，因此 $\sum_{p=-\infty}^{\infty} s[n - p] h[p]$

注释 2.3 卷积符号

请记住，虽然卷积和信号的共轭都用符号 $*$ 表示，但在上下文中总是能看到它们的区别。当用于卷积时，它作为两个信号之间的运算符出现，例如 $s [n] * h [n]$ 。另一方面，当用于共轭时，它出现在信号的上标处，例如 $h^*[n]$ 。

卷积是一个非常逻辑且简单的过程，但许多数字信号处理（DSP）学习者由于解释方式的缘故，可能会感到困惑。接下来，我们将描述一种传统的方法和另一种更直观的方法来计算卷积输出。

传统方法

在定义卷积方程后，建议通过以下步骤来实现。对于每个特定时间移位 $n$ ，步骤如下：

翻转 (Flip) ：将卷积方程排列为
$\sum_{m=-\infty}^{\infty} s[m] h[-m + n]$
并将冲激响应 $h [m]$ 视为变量 $m$ 的函数。将 $h [m]$ 关于 $m = 0$ 翻转以得到 $h [- m]$ 。
移位 (Shift) ：为了得到时间移位 $n$ 时的 $h [- m + n]$ ，将 $h [- m]$ 向右移 $n$ 个单位（对于正 $n$ ），对于负 $n$ 则向左移。
相乘 (Multiply) ：将序列 $s [m]$ 与序列 $h [- m + n]$ 逐点相乘，得到乘积序列 $\cdot h[-m + n]$ 。
求和 (Sum) ：将上述乘积序列的所有值相加，得到在时间 $n$ 时的卷积输出。
重复 (Repeat) ：对每个可能的 $n$ 值重复上述步骤。

两个信号之间卷积的示例

$$s[n] = [2, -1, 1]$$$$h[n] = [-1, 1, 2]$$

如图 2.8 所示。在左边的列中，信号 $s [m]$ 被复制并与 $h [- m]$ 的移位版本叠加，以演示两者之间的重叠，而移位 $n$ 则显示在文本框中对应每个 $n$ 的值。如果你按照上述步骤操作，你会在图的右边列的文本框中找到结果 $r [n]$ ：

$$r[n] = [-2, 3, 2, -1, 2]$$

请注意上面信号表示中的变化。实际的信号 $s [n]$ 和 $h [n]$ 是时间索引 $n$ 的函数，但卷积方程表示的是这两个信号在时间索引 $m$ 下的卷积。另一方面， $n$ 用于表示在逐点与 $s [m]$ 相乘之前，应用于 $h [- m]$ 的时间移位。输出 $r [n]$ 是时间索引 $n$ 的函数，这对应于应用于 $h [- m]$ 的移位。

图 2.8： s[n] 和 h[n] 之间卷积的传统方法

接下来，我们转向一种更直观的方法，在这种方法中不需要翻转信号。

直观方法

理解卷积的另一种方法。实际上，它是建立在卷积方程 (2.4) 的推导基础上的，也就是找到输出 $r [n]$ ，其表达式为：

让我们解决与图 2.8 相同的例子，其中

$s [n] = [2, - 1, 1]$

$h [n] = [- 1, 1, 2]$

表 2.1： s[n] 和 h[n] 之间卷积的直观方法

$n$	0	1	2	3	4
$s [n]$	2	-1	1
$\cdot h[n]$	2(-1)	2(1)	2(2)
$\cdot h[n-1]$	0	-1(-1)	-1(1)	-1(2)
$\cdot h[n-2]$	0	0	1(-1)	1(1)	1(2)
输出	-2	3	2	-1	2

这种方法如表 2.1 和图 2.9 所示，其结果是通过列求和生成的。从实现的角度来看，这种方法与传统方法没有区别。

注释 2.4：翻转冲激响应的奇特案例

从上面的直观方法来看，翻转实际上根本不存在。翻转仅发生在时间索引 $m$ 的世界中，而不是时间索引 $n$ 的世界中。而我们在每个 $n$ 上找到每个新的输出。

图 2.9： s[n] 和 h[n] 之间卷积的直观方法

现在（NOW），由卷积方程中 $n$ 代表，即为自身的移动指针，这个指针实际上在过程中不断变化。时间在滴答流逝，每一次流逝，我们都能进入未来的一个单位，在那里新的输入到来并踢出另一个冲激响应（按输入在该瞬间的幅度缩放）。
由于在现在之前没有实际的输入可施加，我们从时间索引 0 开始。

输入 $s [0]$ 在现在（NOW）贡献了 $\cdot h[0]$ ，这是在时间 0 时的第一个输出采样。实际上，它启动了完整的冲激响应，该响应由其值 $\cdot h[1], s[0] \cdot h[2], \cdots)$ 缩放，但这些将会发生在未来。
新的现在（NOW）是时间索引 1。输入 $s [1]$ 到达并发起了完整的冲激响应，但只有 $\cdot h[0]$ 发生在现在（NOW）。此外，向未来移动了 1 个单位意味着 $\cdot h[1]$ 已在此时到达。因此，时间 1 的输出是 $\cdot h[0] + s[0] \cdot h[1]$ 。
以这种方式继续下去，可以看出，在卷积操作期间，现在（NOW） $n$ 随着每个滴答向前推进。每个此类 $n$ 激活新的冲激响应，当然从 $h [0]$ 开始，因此表达式为 $\cdot h[0]$ 。只有过去输入的那些贡献可以在此时进行汇总，形成当前时刻的贡献。

显然， $h [1]$ 将是从时间 $n - 1$ 发生的输入贡献， $h [2]$ 来自 $n - 2$ 的输入，依此类推。总而言之， $h[\cdot]$ 参数的论点不过是每个单独输入从现在（时间索引 $n$ ）的时间分离——由于这一记忆的存在，它发挥作用以找出每个过去输入对现在的影响。

性质

以下是卷积的一些重要性质。

长度 (Length) ：从上图可以看出，当 $s [n]$ 和 $h [n]$ 的长度均为 3 个样本时，结果信号 $r [n]$ 的长度为 5。这是一个通用规则：

$$\text{Length}\{r[n]\} = \text{Length}\{s[n]\} + \text{Length}\{h[n]\} - 1 \tag{2.8}$$

这是由于在卷积过程中一个信号完全滑过另一个信号。

第一个样本 (First sample) ：从翻转操作可以明显看出，结果的第一个样本位置由下式给出：

$$\text{First sample location}\{r[n]\} = \text{First sample location}\{s[n]\} + \text{First sample location}\{h[n]\} \tag{2.9}$$

单位冲激 (Unit impulse) ：由于单个单位冲激 $\delta[n]$ 只能生成冲激响应 $h [n]$ 的单一实例，因此单位冲激对冲激响应的卷积就是冲激响应本身。这个结果是通用的，适用于任何信号 $s [n]$ 。

$$s[n] * \delta[n] = s[n] \tag{2.10}$$

复信号的卷积

复信号 $s [n]$ 输入到具有复冲激响应 $h [n]$ 的系统中的卷积可以通过以 IQ 形式编写卷积来理解。它以类似的方式定义为

$$r[n] = s[n] * h[n]$$

使用复数的乘法规则 I·I - Q·Q 和 Q·I + I·Q

$$I \rightarrow r_I[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} s_I[m] h_I[n - m] - \sum_{m=-\infty}^{\infty} s_Q[m] h_Q[n - m]$$$$Q \uparrow r_Q[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} s_Q[m] h_I[n - m] + \sum_{m=-\infty}^{\infty} s_I[m] h_Q[n - m] \tag{2.11}$$

这可以写成单个实数卷积的组合。

$$I \rightarrow r_I[n] = s_I[n] * h_I[n] - s_Q[n] * h_Q[n]$$$$Q \uparrow r_Q[n] = s_Q[n] * h_I[n] + s_I[n] * h_Q[n]\tag{2.12}$$

由于恒等式 $\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos (A + B)$ ，I 表达式中的负号表明两个对齐轴项的相位实际上是在相加。显然，恒等式仅在可以提取幅度作为公因子的情况下适用于上述方程，但相位对齐的概念仍然成立。同样，恒等式 $\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin (A + B)$ 表明在 Q 表达式中，两个交叉轴项的相位也在相加。因此，复卷积可以描述为一个过程：